6. Sınıf Matematik Dersi

Çarpanlar ve Katlar Konusu ve alt başlıkları

Ders : Matematik

Çarpanlar ve Katlar

ÇARPANLAR VE KATLAR

 

BİR DOĞAL SAYININ ÇARPANLARI / BÖLENLERİ

Her doğal sayı iki doğal sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu doğal sayılara o sayının çarpanı denir. Bu çarpanlar aynı zamanda o sayıyı kalansız böldüğü için çarpanlara bölenidir de denir.

                                    ÇARPAN = BÖLEN

ÖRNEK: 24 sayısının çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.

24’ü iki sayının çarpımı şeklinde yazalım. Aşağıdaki gibi sonuçlar elde ederiz.

 

24 = 24 x 1

 

24 = 12 x 2

 

24 = 8 x 3

 

24 = 6 x 4

 

Buna göre yukarıda yazdığımız sayılar 24’ün çarpanlarıdır.

 

24’ün Çarpanları = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

 

Bu çarpanlar aynı zamanda 24’ü kalansız böler.

 

24’ün Kalansız Bölenleri = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

 

BİR DOĞAL SAYININ KATLARI

Bir doğal sayının kalansız böldüğü sayıların tümüne o sayının katları denir.

Örneğin 2 sayısının katları: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

 

ÖRNEK: 15 sayısının 50 ile 100 arasındaki katlarını yazalım.

 

15 x 4 = 60

 

15 x 5 = 75

 

15 x 6 = 90

 

ÖRNEK: 15 sayınının çarpanlarını (kalansız bölenlerini) bulalım.

 

15 = 15 x 1

 

15 = 3 x 5

 

NOT: Bir sayının çarpanları (kalansız bölenleri), o sayının katlarının da çarpanlarıdır yani katlarını da kalansız böler. [SPOT 1 ]

 

ÖRNEK: Yukarıdaki örneğe bakacak olursak 15’in çarpanları olan 1, 3, 5, 15 sayıları aynı zamanda 15’in herhangi bir katının da çarpanlarıdır, yani kalansız böler.

Örnek olarak 15’in katı olan 75’i ele alalım:

 

75’in çarpanları arasında 15’in çarpanları da vardır. Çünkü 75 sayısı 15’in katıdır.

 

75’in çarpanları 1, 3, 5, 15, 25, 75

 

BÖLÜNEBİLME KURALLARI (2,3,4,5,6,9,10 İLE BÖLÜNEBİLME)

KALANSIZ BÖLÜNEBİLME NEDİR?

Bir doğal sayı, bir sayma sayısına bölündüğünde kalan 0 (sıfır) oluyorsa bu işleme kalansız bölme işlemi denir ve “bu doğal sayı, o sayma sayısına tam olarak bölünüyor” veya “bu doğal sayı, o sayma sayısına kalansız bölünebiliyor” denir.

 

BÖLÜNEBİLME KURALLARI

  • 2 İLE BÖLÜNEBİLME KURALI

Birler basamağındaki rakam 0,2,4,6,8 olan sayılar 2 ile kalansız bölünebilir. İki ile kalansız bölünebilen sayılara çift sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 0,2,4,6,8 olan sayılar çift sayılardır.

 

 

 

 

 

 

 

ÖRNEK: 120, 32, 2018 sayıları çift sayılardır ve 2 ile kalansız bölünebilirler.

 

ÖRNEK: 541A sayısı 2 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM:

2 ile kalansız bölünüyorsa çift sayıdır ve A = 0, 2, 4, 6, 8 olur. Cevap 0+2+4+6+8=20’dir.

İki ile kalansız bölünemeyen (1 kalanını veren) sayılara tek sayılar denir. Diğer bir ifade ile birler basamağı 1,3,5,7,9 olan sayılar tek sayılardır.

 

ÖRNEK: 121, 33, 2017 sayıları tek sayılardır ve 2 ile bölündüğünde 1 kalanını verirler.

 

ÖRNEK: 276B sayısı 2’ye tam bölünemiyorsa B yerine gelebilecek rakamların çarpımı kaçtır?

ÇÖZÜM:

2’ye tam bölünemiyorsa B tek sayıdır ve B = 1, 3, 5, 7, 9 olur.

 1 x 3 x 5 x 7 x 9 = 945’tir.

 

  • 3 İLE BÖLÜNEBİLME KURALI

Bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı 3 ile kalansız (tam) bölünüyorsa bu sayı 3 ile kalansız (tam) bölünebilir.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖRNEK: 2352 sayısı 3 ile tam bölünebilir.Çünkü bu sayının rakamları toplamı:

 

2+3+5+2=12’dir. 12 sayısı 3’ün katı olduğu için 2352 sayısı 3’e kalansız bölünebilir.

 

ÖRNEK: 2017 sayısı 3 ile tam bölünemez. Çünkü bu sayının rakamları toplamı:

 

2+0+1+7=10’dur.

10 sayısı 3’ün tam bir katı olmadığı için 2017 sayısı 3’e tam bölünemez, kalanlı bölünebilir.

 

NOT: Rakamları toplamının 3 ile bölümünden kalanı, sayının 3 ile bölümünden kalanıyla aynıdır. [SPOT 2 ]

 

ÖRNEK: 2017 sayısının 3 ile bölümünden kalanı bulalım.

 

2+0+1+7=10’dur. 10’un 3 ile bölümünden kalan 1 olduğu için 2017’nin 3 ile bölümünden kalan 1’dir.

 

ÖRNEK: B276A sayısı 3 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM:

3 ile kalansız bölünüyorsa rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır.

 

2+7+6+A

 

15+A sayısı 3’ün katı olmalı.

 

A yerine 0,3,6,9 yazarsak bu sayının rakamları toplamı 3’ün katı olur.

 

A yerine yazabileceğimiz rakamların toplamı = 0+3+6+9=18’dir.

 

  • 4 İLE BÖLÜNEBİLME KURALI

Son iki basamağı 00 veya 4’ün katı olan sayılar 4 ile kalansız bölünebilir.

 

 

 

 

 

 

 

 

ÖRNEK: 120, 312, 2000 sayıları 4’e tam bölünebilirler.

 

ÖRNEK: 2345, 142, 215 sayıları 4’e tam bölünemez.

 

ÖRNEK: 871A sayısı 4 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

 

ÇÖZÜM: 4 ile kalansız bölünüyorsa son iki basamağı:

 

8712 ve 8716 olabilir. A yerine yazılabilecek rakamların toplamı: 2+6=8’dir.

 

NOT: Bir sayının 4 ile bölümünden kalanı, son iki basamağındaki rakamların oluşturduğu sayının 4 ile bölümünden kalanı ile aynıdır. [SPOT 3 ]

 

ÖRNEK: 2023 sayısının 4 ile bölümünden kalanı bulalım.

 

23 sayısının 4’e bölümünden kalan 3 olduğu için 2023 sayısının 4 ile bölümünden kalan 3’tür.

 

  • 5 İLE BÖLÜNEBİLME KURALI

Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 veya 5 ise bu sayı 5’e kalansız bölünebilir.

 

 

 

 

 

ÖRNEK: 2530 sayısı 5’e tam bölünebilir.

 

Çünkü bu sayının birler basamağı 0’dır.

 

ÖRNEK: 2014 sayısı 5’e tam bölünemez.

 

Çünkü bu sayının birler basamağı 4’dır.

 

NOT: Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı, birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalanı ile aynıdır. [SPOT 4 ]

 

ÖRNEK: 2023 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

 

2023 sayısı 5’e tam bölünemez. Kalan 3’tür.

 

ÖRNEK: 569 sayısının 5 ile bölümünden kalanı bulalım.

 

569 sayısı 5’e tam bölünemez. 9’un 5’e bölümünden kalan 4 olduğu için 569’un 5’e bölümünden kalan 4’tür.

 

 

  • 6 İLE BÖLÜNEBİLME KURALI

Bir sayı hem 2 hem de 3 ile kalansız bölünebiliyorsa bu sayı 6 ile kalansız bölünebilir. Yani rakamları toplamı 3’ün katı olan çift sayılar 6’ya tam bölünebilir.

 

 

 

 

 

 

 

ÖRNEK: 510 sayısı 6 ile kalansız bölünebilir çünkü çift sayı olduğu için 2’ye, rakamları toplamı (5+1+0=6) 3’ün katı olduğu için 3’e tam bölünür.

 

ÖRNEK: 285 sayısı 6 ile kalansız bölünemez. (Çünkü 3’e tam bölünebilse bile 2’ye tam bölünemiyor.)

 

ÖRNEK: 724 sayısı 6 ile kalansız bölünemez. (Çünkü 2’ye tam bölünebilse bile 3’e tam bölünemiyor.)

 

ÖRNEK: 31A sayısı 6 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamlar nelerdir?

ÇÖZÜM:

6 ile kalansız bölünüyorsa hem 2’ye hem 3’e tam bölünmelidir. Bu yüzden çift sayı olmalıdır. (2’ye tam bölünebilmesi için)

 

A yerine 0 yazsak rakamları toplamı 3+1+0=4 olur. (4 sayısı 3’ün katı değil)

 

A yerine2 yazsak rakamları toplamı 3+1+2=6 olur. (6 sayısı 3’ün katı)

 

A yerine 4 yazsak rakamları toplamı 3+1+4=8 olur. (8 sayısı 3’ün katı değil)

 

A yerine 6 yazsak rakamları toplamı 3+1+6=10 olur. (10 sayısı 3’ün katı değil)

 

A yerine 8 yazsak rakamları toplamı 3+1+8=12 olur. (12 sayısı 3’ün katı)

 

Bu yüzden A yerine 2 ve 8 yazabiliriz.

 

 

  • 9 İLE BÖLÜNEBİLME KURALI

Bir doğal sayının basamaklarındaki rakamların sayı değerleri toplamı 9 ile kalansız (tam) bölünüyorsa bu sayı 9 ile kalansız (tam) bölünebilir.

 

 

 

 

 

 

ÖRNEK: 5436 sayısı 9 ile tam bölünebilir.Çünkü bu sayının rakamları toplamı:

 

5+4+3+6=18’dir.

18 sayısı 9’un katı olduğu için 5436 sayısı 9’a kalansız bölünebilir.

ÖRNEK: 2014 sayısı 9 ile tam bölünemez.Çünkü bu sayının rakamları toplamı:

 

2+0+1+4=7’dir. 7 sayısı 9’un tam bir katı olmadığı için 2014 sayısı 9’a tam bölünemez, kalanlı bölünebilir.

 

NOT: Rakamları toplamının 9 ile bölümünden kalanı, sayının 9 ile bölümünden kalanıyla aynıdır. [SPOT 5 ]

 

ÖRNEK: 5451 sayısının 9 ile bölümünden kalanı bulalım.

 

5+4+5+1=15’tir.

15’in 9 ile bölümünden kalan 6 olduğu için 5451’ün 9 ile bölümünden kalan 6’dır.

 

ÖRNEK: 735A sayısı 9 ile kalansız bölünebiliyorsa A yerine gelebilecek rakamların toplamı kaçtır?

ÇÖZÜM: 3 ile kalansız bölünüyorsa rakamları toplamı 3’ün katı olmalıdır.

 

7+3+5+A

 

15+A sayısı 9’un katı olmalı.

 

A yerine 3 yazarsak bu sayının rakamları toplamı 18 olur ve 9 ile kalansız bölünebilir.

 

  • 10 İLE BÖLÜNEBİLME KURALI

Bir doğal sayının birler basamağındaki rakam 0 ise bu sayı 10’a kalansız bölünebilir.