7. Sınıf Matematik Dersi

Çokgenler Konusu ve alt başlıkları

Ders : Matematik

Çokgenler

 

 

ÇOKGENLERDE AÇILAR VE DÜZGÜN ÇOKGENLER 

 

   Doğrusal olmayan üç ve daha fazla sayıda noktayı birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı düzlemsel şekillere çokgen denir.

   Çokgenler kenar sayılarına göre isimlendirilirler.

   Belli özellikler taşıyan çokgenler taşıdıkları özelliklere göre Kare, Dikdörtgen, Paralelkenar, gibi isimler alırlar.

   Çokgenin oluşmasını sağlayan doğru parçalarına çokgenin kenarları; doğru parçalarının kesiştiği noktalara, çokgenin köşeleri denir.

   Bir kenarın iki ucu komşu köşelerdir. Komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçalarına köşegen denir.

ÖRNEK:

Altıgenin bir köşesinden çizilebilecek köşegen sayısı en fazla kaç olur?

3 Tane köşegeni vardır.

 

   Çokgenlerde, iç bölgede iki kenarın birleşimiyle oluşan açılara iç açılar denir.

   Bir kenarın uzantısıyla komşu kenarın oluşturduğu açıya dış açı denir.

 

 

ÖRNEK:

Bir dış açısının ölçüsü 65° olan dörtgenin aynı köşedeki iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

ÖRNEK:

Bir çokgenin A köşesinde bir dış açısının ölçüsü bir iç açısının ölçüsünün 3 katı olduğuna göre, A köşesine ait iç açının ölçüsü kaç derecedir?

 

 

   İÇ AÇILAR TOPLAMI

 

   Dörtgen iki üçgene bölünebildiğinden, dörtgenin iç açıları toplamı;

   2 180° = 360° dir.

 

   Beşgen üç üçgene bölünebildiğinden, beşgenin iç açıları toplamı;

   3 180° = 540° dir.

   Altıgen dört üçgene bölünebildiğinden, altıgenin iç açıları toplamı;

   4 180° = 720° dir.

Kenar sayısı n olan bir çokgende, Bir köşeden en fazla (n – 3) köşegen çizilebilir. Çizilen bu köşegenler ile en fazla   (n – 2) tane üçgen elde edilir.

Bu durumda n kenarlı bir çokgenin iç açıları toplamı;

   (n – 2) 180° dir.

 ÖRNEK:

   Beş kenarlı bir çokgenin iç açılar toplamı kaç derecedir?

 

ÖRNEK:

   İç açılarının ölçüleri toplamı 900° olan çokgenin kenar sayısı kaçtır?

 

ÖRNEK:

   Sekiz kenarlı bir çokgenin iç açılar toplamı kaç derecedir?

ÖRNEK:

Şekildeki beşgende;

 

 

   Bir çokgende, bir kenar uzantısı ile komşu kenarın oluşturduğu açıya dış açı denir.

   Bir çokgende kenar sayısı kadar iç açı ve kenar sayısı kadar dış açı vardır. 180° den büyük iç açısı olmayan çokgenlerde dış açılar toplamı sabittir.[SPOT 1]

   Bütün çokgenlerde,

   Dış açılar toplamı = 360° dir.

 

  Kenar uzunlukları ve açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.

Eşkenar üçgen, kare, düzgün beşgen, düzgün altıgen birer düzgün çokgendir.

 

 

ÖRNEK:

Düzgün sekizgenin bir iç açısının ölçüsü kaç derecedir?

 

 

 

 ÖRNEK:

Bir dış açısının ölçüsü 40° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

  Altı kenarlı düzgün çokgene düzgün altıgen denir.

  Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü 120° dir.

ÖRNEK:

              

 

                        

 

 

*** Tüm kenar uzunlukları eşit olan dörtgene “eşkenar dörtgen”denir. Eşkenar dörtgende karşılıklı açıların ölçüleri eşittir. Kare, eşkenar dörtgenin tüm özelliklerini sağlar.

Karenin tüm iç açıları da eşit olduğundan kare, eşkenar dörtgenin özel bir durumudur.[SPOT 2]
Aşağıda ABCD ve DEFG dörtgenlerinin kenar ve açı özellikleri verilmiştir. İnceleyiniz.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/31-2.png

Yukarıdaki ABCD dörtgeninin tüm kenar uzunlukları ve karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. Karşılıklı kenarları paraleldir.
DEFG dörtgeninin tüm kenar uzunlukları ve karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. Karşılıklı kenarları paraleldir.

*** Karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan dörtgenlere “paralel kenar” denir. Paralelkenarda karşılıklı açıların ölçüleri eşit, ardışık köşelerdeki açıların ölçüleri toplamı 180°’dir. 
Aşağıdaki ABCD paralelkenarında
|AB| = |DC|, |BC| = |AD|,
[AB] // [DC], [BC] // [AD]
m(A) = m(C), m(B) = m(D), m(A) + m(B) = 180°, m(B) + m(C) = 180°
Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen, paralelkenarın tüm özelliklerini sağlar.

Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen paralelkenarın özel hâlidir.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/32.png

*** Karşılıklı kenar çiftlerinden en az biri paralel olan dörtgenlere “yamuk” denir. Aşağıdaki ABCD dörtgeninde [AB] // [DC] olduğundan ABCD dörtgeni bir yamuktur.
Yamukta iki paralel kenar arasındaki açılar bütünlerdir.
m(A) + m(D) = 180°, m(B) + m(C) = 180°’dir.
Paralel kenarlara yamuğun “tabanları”, diğer kenarlara ise yamuğun “yan kenarları” denir.SPOT 4
http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/41-1.png

*** Paralel olmayan kenarlarının uzunluğu eşit olan yamuklara “ikizkenar yamuk” denir.
ABCD yamuğunda [AB] // [DC], |AD| = |BC|,

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/51-1.png

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/55-1.png

*** Paralel olmayan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa “dik yamuk” denir.
ABCD yamuğunda

[AB] // [DC], [AD] ve [DC],  [DA] ve [AB] birbirine diktir.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/444-1.png


Eşkenar Dörtgen ve Yamuğun Alanı

ABCD eşkenar dörtgeninin köşegen uzunlukları
|AC| = e ve |BD| = f için

  http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/2-4.pnghttp://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/1-5.png

 

*** ABCD eşkenar dörtgeninin alanı

A(ABCD) = |AB| . |DH|

                  = |BC| . |DK|

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/3-2.png

*** Taban uzunlukları |AB| = a br, |CD| = c br ve yüksekliği |DH| = h br olan ABCD yamuğunun alanı;

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/5-3.png   http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/4-3.png


Üçgen, Dikdörtgen, Paralelkenar, Yamuk veya Eşkenar Dörtgenden Oluşan Bileşik Şekillerin Alanı

Örnek: Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin içine şekildeki gibi yürüyüş yolları yapılacaktır. Yürüyüş yolları için ayrılan kısım kaç metrekaredir?

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/11-3-300x196.png

Çözüm:

İstenilen bölgenin alanını bulmak için dikdörtgen şeklindeki bahçenin alanından şekildeki üçgen, yamuk ve dikdörtgenin alanını çıkaralım.

Bahçenin alanı = 12·8 = 96 m²,
Üçgenin alanı = (3.5)/2 = 15/2 = 7,5 m²
Yamuğun alanı = [(7+9,5)/2] . 4 = 16,5/2 = 33 m²

Dikdörtgenin alanı = 11·3 = 33 m²
Yürüyüş yolları için ayrılan alan = 96 – (7,5 + 33 + 33)
= 96 – 73,5 = 22,5 m² olur.

 

Örnek: Aşağıdaki ABCDEF çokgeni şeklindeki arsanın ölçüleri verilmiştir. Arsa dikdörtgen, yamuk ve üçgenlerden oluşmuştur. Şekilde [AB] // [FC] // [ED] ve [FE] // [BC]’dır.
Bu arsaya çocuk parkı ve spor tesisleri yapmak için bir mimara tasarım yaptırılıyor.

Mimarın yaptığı tasarımda arsa üç bölgeye ayrılıyor. Oyun alanı paralelkenar, yeşil alan yamuk ve spor tesisleri eşkenar dörtgenden oluştuğuna göre mimarın nasıl bir tasarım yaptığını, oyun alanının, yeşil alanın ve spor tesislerinin alanının kaç metrekare olduğunu bulalım.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/44-2.png

Çözüm:

  • [ED]’na paralel ve |FG| = 46 m olacak şekilde [FG] çizelim. G ile D noktalarını birleştirerek [GD] çizelim. |GD| = 50 m ve FGDE paralelkenar olur.
  • G ile B noktalarını birleştirerek [GB] çizelim. |GB| = 50 m ve GBCD eşkenar dörtgen olur.
  • Geri kalan ABGF dörtgeni de dik yamuk olur.
  • Paralelkenarın alanı = |FG|·|DH| = 46·40 = 1840 m²
  • Eşkenar dörtgenin alanı = |GC|.|BD|/2 = 60.80/2 = 2400 m²
  • Yamuğun alanı = (|AB|+|FG|/2) . |FA| = (122/2) . 40 = 2440 m² buluruz.

Dikdörtgenin Çevre Uzunluğu ile Alan Arasındaki İlişki

20 m uzunluğunda bakır teller kullanarak kenar uzunlukları birer doğal sayı olan dikdörtgen veya kare oluşturalım. Bu dikdörtgenlerin çevre uzunlukları ile alanları arasındaki ilişkiyi inceleyelim.
http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/10/32-1.png

Tüm şekillerin çevre uzunlukları 20 m’dir.
I. dikdörtgenin alanı = 8·2 = 16 m²
II. dikdörtgenin alanı = 7·3 = 21 m²
III. dikdörtgenin alanı = 6·4 = 24 m²
IV. dikdörtgenin (kare) alanı = 5·5 = 25 m²
Dikdörtgenlerin çevre uzunlukları eşit fakat alanlar farklıdır. Çevre uzunlukları eşit olan dikdörtgenlerin alanları farklı olabilir.
Çevrelerinin uzunlukları eşit olan dikdörtgenlerden kenar uzunlukları birbirine yakın veya eşit
olan dikdörtgenin alanı daha büyüktür.

 

 

7. Sınıf Matematik Dersi

Çokgenler alt başlıkları

Konunun Spot Bilgisi

[SPOT-1] Bir çokgende kenar sayısı kadar iç açı ve kenar sayısı kadar dış açı vardır. 180° den büyük iç açısı olmayan çokgenlerde dış açılar toplamı sabittir.

[SPOT-2] Karenin tüm iç açıları da eşit olduğundan kare, eşkenar dörtgenin özel bir durumudur.

[SPOT-3] Dikdörtgen ve eşkenar dörtgen paralelkenarın özel hâlidir.

[SPOT-4] Paralel kenarlara yamuğun “tabanları”, diğer kenarlara ise yamuğun “yan kenarları” denir

Konunun Önemli Terimleri

  • ÇOKGEN: Doğrusal olmayan üç ve daha fazla sayıda noktayı birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı düzlemsel şekillere çokgen denir.
  • ÇOKGENİN KÖŞELERİ: Çokgenin oluşmasını sağlayan doğru parçalarına çokgenin kenarları; doğru parçalarının kesiştiği noktalara, çokgenin köşeleri denir.
  • KÖŞEGEN: Bir kenarın iki ucu komşu köşelerdir. Komşu olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçalarına köşegen denir.
  • İÇ AÇI: Çokgenlerde, iç bölgede iki kenarın birleşimiyle oluşan açılara iç açılar denir.
  • DIŞ AÇI: Bir kenarın uzantısıyla komşu kenarın oluşturduğu açıya dış açı denir.
  • DÜZGÜN ÇOKGEN: Kenar uzunlukları ve açılarının ölçüleri eşit olan çokgenlere düzgün çokgen denir.
  • DÜZGÜN ALTIGEN: Altı kenarlı düzgün çokgene düzgün altıgen denir.
  • EŞKENAR DÖRTGEN: Tüm kenar uzunlukları eşit olan dörtgene “eşkenar dörtgen”denir.
  • PARALELKENAR: Karşılıklı kenarları eşit ve paralel olan dörtgenlere “paralel kenar” denir.
  • YAMUK: Karşılıklı kenar çiftlerinden en az biri paralel olan dörtgenlere “yamuk” denir.
  • İKİZKENAR YAMUK: Paralel olmayan kenarlarının uzunluğu eşit olan yamuklara “ikizkenar yamuk” denir.
  • DİK YAMUK: Paralel olmayan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa “dik yamuk” denir.