KÜMELER

KÜME NEDİR?

İyi tanımlanmış nesneler topluluğuna küme denir. Buradaki iyi tanımlanmış, herkes tarafından aynı şekilde bilinen, belirli olan varlıklar demektir. Kümeler genellikle büyük harflerle isimlendirilir ve gösterilirler.

Ör: A kümesi [SPOT 1]

KÜMENİN ELEMANI VE ELEMAN SAYISI

Kümeyi oluşturan varlıklara veya sembollere eleman denir. Eleman ∈ sembolü ile gösterilir. Elemanı değilse ∉ sembolü ile gösterilir.Bir A kümesinin eleman sayısı sembolle s(A) şeklinde gösterilir.

ÖRNEK: A kümesi haftanın P harfi ile başlayan günleri olsun.

Pazartesi ∈ A , Pazartesi A kümesinin elemanıdır.

Salı ∉ A , Salı A kümesinin elemanı değildir.

s(A) = 3 , A kümesinin eleman sayısı 3’tür.

BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş küme { } ya da ϕ sembolleri ile gösterilir.

NOT: {ϕ } ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip kümelerdir.

KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümeler Liste Yöntemi, Ortak Özellik Yöntemi ve Venn Şeması olmak üzere 3 şekilde gösterilir.

NOT: Küme içinde eleman tekrarı yapılmaz. Örneğin ATATÜRK kelimesinin harflerinin oluşturduğu küme { A, T, Ü, R, K } olur. [SPOT 2]

1) LİSTE YÖNTEMİ

Kümenin elemanlarının küme parantezi içine yani { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılmasına liste yöntemi denir. Örnek:

A = { 1, 2, 3 } – A kümesinin eleman sayısı 3’tür.

B = { 123 } – B kümesinin eleman sayısı 1’dir. Çünkü rakamlar arasında virgül olmadığından tek elemanı vardır o da 123’tür.

2) ORTAK ÖZELLİK YÖNTEMİ

Kümenin elemanlarını; daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde, gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir.

A = {x : (x in özelliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur.

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir.

ÖRNEK:

A = { 0, 2, 4, 6, 8 } ise bu küme A = { Çift rakamlar} olarak gösterilebilir.

K = { 0, 1, 2, 3 } ise bu küme K = { x | x Î N ve x < 4 } olarak gösterilebilir.

P = { a, b, c } ise bu küme P = { Alfabemizin ilk 3 harfi } olarak gösterilebilir.

3) VENN ŞEMASI YÖNTEMİ

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir. Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir.

Yanda A = { a, b, c } kümesi Venn şeması ile gösterilmiştir. Şema ile gösterilirken her elemanın başına nokta konulur ve kümenin adı şeklin hemen yanına yazılır.

KÜMELERDE İŞLEMLER

1) KÜMELERDE KESİŞİM

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A ∩ B biçiminde gösterilir.

Kesişimin Özellikleri

• A ∩ ϕ = ϕ
• A ∩ A = A
• A ∩ B = B ∩ A
• (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

2) KÜMELERDE BİRLEŞİM

A kümesindeki ve B kümesindeki bütün elemanların oluşturduğu kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A ∪ B  biçiminde gösterilir.

Birleşimin Özellikleri

• A ∪ ϕ = A
• A ∪ A = A
• A ∪  B = B ∪ A
• A ∪ (B ∪  C) = (A ∪  B) ∪ C
• A Ì B ise, A ∪  B = B
• A ∪ B = ϕ ise, (A = ϕ ve B = ϕ) dir.