7. Sınıf Matematik Dersi

Rasyonel Sayılarla İşlemler Konusu ve alt başlıkları

Ders : Matematik

Rasyonel Sayılarla İşlemler

RASYONEL SAYILAR DA İŞLEMLER

Paydaları aynı olan rasyonel sayılarla toplama işlemi yapılırken bu sayıların payları toplanarak paya, ortak payda ise paydaya yazılır. Yapılabilecek sadeleştirmeler varsa bu sadeleştirmeler yapılarak işlemin en sade hâli elde edilir.
a, b, c tam saylar ve c ≠ 0 olmak üzere;

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/1-46.png

Toplama işlemi yapılacak rasyonel sayıların paydaları farklı ise bu sayıların paydaları eşitlenir .[SPOT 1]

Yukarıda belirtilen işlemler yapılır.
a, b, c, d tam saylar ve c ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere; 
http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/2-35.png

Örnek: Aşağıda verilen toplama işlemlerini yapalım.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/3-24.png

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/4-19.png

a, b, c, d tam saylar c ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere;

 http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/11-11.png ve 

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/22-7.png  olduğundan

rasyonel sayılarla toplama işleminin “değişme özelliği” vardır.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/33-3.png

 Değişme özelliği iki rasyonel sayının yerleri değişsede sonuçları aynı olacak demektir.

*** a, b, c, d tam saylar b ≠0, d ≠ 0, f ≠ 0 olmak üzere http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/44-4.pngolduğundan rasyonel sayılarla toplama işleminin “birleşme özelliği” vardır.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/55-3.png

 Birleşme özelliği ikiden fazla rasyonel sayının tolamında sayıları gruplayarak toplarsak sonuç değişmez.

*** a, b tam saylar b ≠ 0 olmak üzere http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/66-2.pngolduğundan

0 Toplama  işleminin “etkisiz elemanıdır”.[SPOT 2]

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/77-1.png

 Etkisiz eleman 0 dır.*

*** Toplamları 0 olan iki rasyonel sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.
a, b tam saylar b ≠ 0 olmak üzere http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/88-1.png olduğundan a/b rasyonel sayısının toplama işlemine göre tersi -a/b’dir.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/99-2.png


Rasyonel Sayılarla Çıkarma İşlemi

Paydaları aynı olan iki rasyonel sayı ile çıkarma işlemi yapılırken bu sayıların paylarının farkı paya, ortak payda ise paydaya yazılır. Yapılabilecek sadeleştirmeler varsa bu sadeleştirmeler yapılarak işlemin en sade hâli elde edilir.
a, b, c tam sayılar. c ≠ 0 olmak üzere

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/12-6.png

Çıkarma işlemi yapılacak rasyonel sayıların paydaları farklı ise bu sayıların paydaları eşitlenir ve yukarıda belirtilen işlemler yapılır.
a, b, c, d tam sayılar ve c ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/211.png

5/3 + 8/3 – 1/3 işleminin sonucunu bulalım.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/31-3.png

 

Örnek: Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/333-2.png

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/13-1.png

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/43-1.png

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/54.png


Rasyonel Sayılarla Çarpma ve Bölme İşlemi

İki ya da daha fazla rasyonel sayı çarpılırken paylar çarpımı paya, paydalar çarpımı paydaya yazılır. Varsa gerekli sadeleştirmeler yapılır. Çarpımın en sade halî yazılır.[SPOT 3]
a, b, c, d tam sayılar b ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere
http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/65.png

5/3 . 2/7 ve 2/7 . 5/3 işlemlerini yapalım. İşlemlerin sonuçlarını karşılaştıralım.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/2222.png

 

*** a, b, c, d tam saylar b ≠ 0, d ≠ 0 olmak üzere http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/1-47.png olduğundan rasyonel sayılarla çarpma işleminin “değişme özelliği” vardır.

1/2 . (3/5 . 7/4) ve (1/2 . 3/5) . 7/4 işlemlerini yapalım. İşlemlerin sonuçlarını karşılaştıralım.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/2-36.png

***a, b, c, d, e, f tam sayılar b ≠ 0, d ≠ 0, f ≠ 0 olmak üzere

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/3-25.png

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/4-21.png olduğundan rasyonel sayılarla çarpma işleminin “birleşme özelliği” vardır.

*** a, b tam sayılar b ≠ 0 olmak üzere

a/b . 1 = 1 . a/b = a/b olduğundan 1, rasyonel sayılarla çarpma işleminin “etkisiz elemanıdır”. 

***  a, b tam sayılar b ≠ 0 olmak üzere

a/b . 0 = 0 . a/b = 0 olduğundan 0, rasyonel sayılarla çarpma işleminin “yutan elemanıdır”. [SPOT 4]

Örnek: 1/2 . (3/4 + 1/8) işleminin sonucunu bulalım.

Çözüm:

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/5-13.png

Rasyonel sayılarla çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
a, b, c, d, e, f tam saylar b ≠ 0, d ≠ 0, f ≠ 0 olmak üzere

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/6-12.png

1/5 . (7/10 + 3/20) işleminin sonucunu bulalım.

1. Yol

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/8-7.png

2. Yol

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/7-12.png

*** Rasyonel sayılarla çarpma işleminin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.
a, b, c, d, e, f tam saylar b ≠ 0, d ≠ 0, f ≠ 0 olmak üzere
http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/1-48.png

*** Rasyonel sayılarla çarpma işleminin ters eleman özelliği vardır.
a, b tam sayılar a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere a/b rasyonel sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a’dır.
Bir rasyonel sayının çarpmaya göre tersiyle çarpımı etkisiz elemana yani 1’e eşittir.[SPOT 5]

a/b . b/a =1’dir.

*** Bir rasyonel sayı başka bir rasyonel sayıya bölünürken bölünen rasyonel sayı ile bölen rasyonel sayının çarpma işlemine göre tersi çarpılır.

a, b, c, d sıfırdan farklı tam saylar olmak üzere a/b : c/d = a/b . d/c’dir.

3/4 : 5/7 işleminin sonucunu bulalım.

3/4 ile 5/7’nin çarpmaya göre tersi 7/5’in çarpımını bulalım.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/12-7.png


Rasyonel Sayıların Karesinin ve Küpünün Hesaplanması

Bir rasyonel sayının karesi hesaplanırken bu sayı kendisiyle çarpılır.
a, b sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/9-6.png

0 hariç tüm rasyonel sayıların karesi pozitif rasyonel sayıdır.

Aşağıdaki rasyonel sayıların küpünü bulalım.
a) 2/3

b) 3/2

c) -2/3

ç) -3/2

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/88-2.png

*** Bir rasyonel sayının küpü hesaplanırken bu sayı kendisiyle iki kez çarpılır.

a, b sıfırdan farklı tam sayılar olmak üzere

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/77-2.png

*** Pozitif rasyonel sayıların küpü pozitif, negatif rasyonel sayıların küpü ise negatif rasyonel sayıdır.

Örnek: Aşağıdaki işlemlerin sonucunu bulunuz.

a) (-5/2)² + (-1/2)³

b) (-3/5)² – (-1/5)³

c) (3/4)² . (2/3)³

Çözüm:

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/776.png


Rasyonel Sayılarla Çok Adımlı İşlemler

Rasyonel sayılarla iki ya da daha fazla işlem içeren ifadelere “çok adımlı işlemler” denir.[SPOT 6]
Bu işlemlerde hangi adımın daha önce yapılacağı “( )”, “[ ]” gibi ayraçlarla belirtilir.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/54-1.png  işleminin sonucunu işlem önceliğine dikkat etmeden soldan sağa doğru
işlem yaparak hesaplayalım. Daha sonra bu işlemi işlem önceliğine göre ayraçlarla ayırarak sonucu hesaplayalım. Bulduğumuz sonuçlar karşılaştıralım.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/55-4.png

Ayraçlarla belirlenmemiş işlemlerde işlem önceliğinin soldan sağa doğru önce çarpma veya bölme, sonra toplama veya çıkarma olduğunu biliyoruz. işlem önceliğine göre verilen işlemi parantezlerle belirleyelim ve işlemin sonucunu hesaplayalım.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/65-1.png

İşlem önceliğine dikkat etmeden bulduğumuz sonuç ile işlem önceliğine göre bulduğumuz sonuç farklıdır. Bu sonuçların farklı olmasının nedeni, ayraç kullandığımız işlemde, işlem önceliğine dikkat edilmesidir.

*** Kesir çizgisi kullanılarak verilen işlemlerde, işlem önceliği en uzun çizgi olan kesir çizgisine göre belirlenir. Kesir çizgisinin belirttiği bölme işlemi yapılmadan önce pay ve paydadaki işlemler yapılır.[SPOT 7]

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/44-5.png işleminin sonucunu bulalım.

Çok adımlı bu tür işlemlerde ilk önce en üstteki işlem yapılır. Büyük kesir çizgisine doğru gidilerek işlemlere devam edilir.
http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/33-4.png


Rasyonel Sayılarla İşlem Yapmayı Gerektiren Problemler

Örnek: Bir oteldeki turistlerin 2/5’i Avrupa ülkelerinden, 1/6’sı diğer ülkelerden gelmiştir. Geri kalanlar yerli turisttir. Yerli turistlerin sayısı 78 olduğuna göre bu otelde konaklayan turistlerin sayısını bulunuz.

Çözüm: 2/5 ile 1/6’nın toplamı yabancı turistlerin oranına eşittir.

http://matematikvadisi.com/wp-content/uploads/2017/09/111-5.png

Öyleyse yabancı turistlerin oranı 17/30’dur. Toplam oran 1 olduğundan yerli turistlerin oranı    1 – 17/30 = 13/30’dur.

13/30’u 78 olan sayıyı bulalım.

13/30’u 78 olan sayı 78 : 13/30 = 180

Örnek: Ders yılı sonunda öğrencilerinden okudukları kitapları okulun kütüphanesine bağışlamalarını söyleyen Betül Öğretmen, bu kitapların 2/5’ini sekizinci sınıf, 1/3’ünü yedinci sınıf öğrencilerinin verdiğini, kendisinin de 8 kitap verdiğini söylemiştir.
Buna göre kütüphaneye kaç kitap bağışlanmıştır?

Çözüm: Kitapların 2/5’ini sekizinci sınıf, 1/3’ünü yedinci sınıflar verdiğine göre geri kalan kitapları da Betül öğretmen vermiştir.

Yani 2/5 + 1/3 toplamından geriye kalan kısmı Betül öğretmen vermiştir.

  • 2/5 (x3) = 6/15
  • 1/3 (x5) = 5/15
  • 6/15 + 5/15 = 11/15
  • 1 – 11/15 = 4/15

Yani kitapların 4/15’ini Betül öğretmen vermiştir. Bu nedenle 4/15’i 8 eden sayıyı bulmamız gerekir.

8 : 4/15 = 30 eder.

Örnek: 5000 m²’lik bir arsanın 1/4’ü binalar, 1/20’si sosyal tesisler, 1/25’i çocuk parkı, 3/10’u yüzme havuzu ve geri kalan kısmı yeşil alan için ayrılmıştır. Yeşil alan için kaç metrekare yer
ayrıldığını bulunuz.

Çözüm:

  • Binalar için 5000 . 1/4 = 1250 m²
  • Sosyal tesisler için 5000 . 1/20 = 250 m²
  • Çocuk parkı için 5000 . 1/25 = 200 m²
  • yüzme havuzu için 5000 . 3/10 = 1500 m² olmak üzere toplam
  • 1250 + 250 + 200 + 1500 = 3200 m² alan ayrılmıştır. Öyleyse yeşil alan için ayrılan kısım
    5000 – 3200 = 1800 m²’dir.

 

 

7. Sınıf Matematik Dersi

Rasyonel Sayılarla İşlemler alt başlıkları

Konunun Spot Bilgisi

[SPOT-1] Toplama işlemi yapılacak rasyonel sayıların paydaları farklı ise bu sayıların paydaları eşitlenir

[SPOT-2] 0 Toplama işleminin “etkisiz elemanıdır.

[SPOT-3] İki ya da daha fazla rasyonel sayı çarpılırken paylar çarpımı paya, paydalar çarpımı paydaya yazılır. Varsa gerekli sadeleştirmeler yapılır. Çarpımın en sade halî yazılır.[

[SPOT-4] a/b . 0 = 0 . a/b = 0 olduğundan 0, rasyonel sayılarla çarpma işleminin “yutan elemanıdır”.

[SPOT-5] a, b tam sayılar a ≠ 0, b ≠ 0 olmak üzere a/b rasyonel sayısının çarpma işlemine göre tersi b/a’dır.Bir rasyonel sayının çarpmaya göre tersiyle çarpımı etkisiz elemana yani 1’e eşittir

[SPOT-6] Rasyonel sayılarla iki ya da daha fazla işlem içeren ifadelere “çok adımlı işlemler” denir.

[SPOT-7] Kesir çizgisi kullanılarak verilen işlemlerde, işlem önceliği en uzun çizgi olan kesir çizgisine göre belirlenir. Kesir çizgisinin belirttiği bölme işlemi yapılmadan önce pay ve paydadaki işlemler yapılır

Konunun Önemli Terimleri