6. Sınıf Matematik Dersi

Tam Sayılar Konusu ve alt başlıkları

Ders : Matematik

Tam Sayılar

TAM SAYILAR, MUTLAK DEĞER, TAM SAYILARI KARŞILAŞTIRMA

 

  • Olumlu durumlarda pozitif tam sayıları ( + ), olumsuz durumlarda ise negatif tam sayıları ( − ) kullanırız. [SPOT 1 ]

Örnek verecek olursak,

 

Sıcaklık sıfırın altında 20 derece yerine ► −20

 

Deniz seviyesinin 150 metre üstü ► +150

 

Zemin katın altındaki 3. kat ► −3

 

25 TL borç ► −25

 

500 TL kâr ► +500

 

TAM SAYILAR

Sayıların önüne konulan işaretler sayının yönünü belirtir. Önünde “+” olan sayılara pozitif tam sayılar, önünde “” olan sayılara ise negatif tam sayılar denir.

  • Sıfır hariç önünde işaret bulunmayan sayıların işareti “+”dır.Yani pozitif sayılardır. [SPOT 2 ]

 

  • Sıfır sayısı  ne pozitif ne de negatif bir tam sayıdır. [SPOT 3 ]

Sıfıra referans noktası denir. Çünkü sayıların pozitif mi negatif mi olduğunu sıfır ile karşılaştırarak belirleriz. Sayı doğrusunda sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar ise negatiftir.

 

           

 

 

  • Tam sayılar kümesi ise pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırdan oluşur. [SPOT 4 ]

 

Pozitif tam sayılar sayı doğrusunda 0’ın sağında yer alır: 1, 2, 3, 4, …

 

Negatif tam sayıalar sayı doğrusunda 0’ın solunda yer alır: −1, −2, −3, −4, …

 

MUTLAK DEĞER

  • Bir tam sayının referans noktasına yani sıfıra (0) olan uzaklığına o tam sayının mutlak değeri denir. Bir A sayısının mutlak değeri |A| şeklinde gösterilir.

Örneğin;

 −5 sayısının 0’a olan uzaklığı 5 birimdir. Bu yüzden −5’in mutlak değeri 5’tir. Bu durum sembolle |−5| = 5 şeklinde gösterilir. Sayının yanındaki çizgiler mutlak değer sembolüdür.

 

  • Mutlak değer sıfıra olan uzaklık olduğu için uzaklık birimi negatif olamayacağından mutlak değer asla negatif bir sayı olamaz. 0 sayısının mutlak değeri 0’dır. Bunun dışındaki sayıların mutlak değeri pozitiftir. [SPOT 5 ]

ÖRNEK: 0’a 3 birim uzaklıkta olan sayıların mutlak değerleri 3’tür.

 |−3| = 3 ve |+3| = 3

 

ÖRNEKLER:

|−2| = 2

|+ 5| = 5

|0| = 0

|−123| = 123

 

 

TAM SAYILARI KAŞILAŞTIRMA

  • Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe sayılar küçülür. Diğer bir ifade ile pozitif sayılar sıfırdan uzaklaştıkça büyür, negatif tam sayılar sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler. [SPOT 6 ]
  • Sayıları sıralamada “<” ve “>” sembolleri kullanılır.

ÖRNEKLER:

+5 sayısı +3 sayısının sağında olduğu için +5 > +3

 

−2 sayısı −7 sayısının sağında olduğu için −2 > −7

 

  • Negatif tam sayıları karşılaştırırken borç olarak düşünmeniz karşılaştırmanızı kolaylaştıracaktır. [SPOT 7 ]

 Örneğin;  −7 mi büyük −10 mu diye düşünelim.

Sayılar negatif olduğu için −7’yi 7 TL borç, −10’u ise 10 TL borç olarak düşünebiliriz.

7 TL borç 10 TL borçtan daha iyi bir durum olduğu için −7 > −10 deriz.

 

Şu çıkarımlarda bulunabiliriz:

Bütün pozitif tam sayılar 0’dan büyüktür.

Bütün negatif tam sayılar 0’dan küçüktür.

Herhangi bir pozitif tam sayı, bütün negatif tam sayılardan büyüktür.

Herhangi bir negatif tam sayı, bütün pozitif tam sayılardan küçüktür.

Sayı doğrusundaki bir sayı, sağındaki sayılardan küçük, solundakilerden büyüktür.

En büyük negatif tam sayı −1’dir.

En küçük pozitif tam sayı +1’dir.  [SPOT 8 ]

 

 Örnekler:

-15 > −29                                +6 < 23

0 < 12                                     −23 < 0                      

−2 > −13                                 5 > −7

|−2| > −2                                 |−23| < 144

15 < |−18|

 

TAM SAYILARLA TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ

 

TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

 

1)Sayı Doğrusunda Toplama İşlemi

  • Sayı doğrusunda toplama işlemi yapılırken toplanan sayılardan birincisinin büyüklüğü kadar sıfırdan başlayarak ok çizilir. Toplanan diğer sayının okunun başlangıç noktası, ilk okun bittiği yerdir. Sayı pozitif ise sağa doğru, negatif ise sola doğru hareket edilir. Sonuç sıfırdan başlanarak sayı doğrusunun altına çizilir. [SPOT 9 ]

 

ÖRNEK: (+4) + (+5) işlemini sayı doğrusunda gösterelim.

 

 

 

 

ÖRNEK: (−7) + (+3) işlemini sayı doğrusunda gösterelim.

 

 

 

 

 

2)Sayma Pulları İle Tam Sayılarda Toplama İşlemi

  • Sayma pullarında (+) pul +1 sayısını, (−) pul −1 sayısını temsil eder.(+) ve (−) pullunun oluşturduğu çift sıfır kabul edilir. [SPOT 10 ]

 

ÖRNEK: (−2) + (−3) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.

 

 

 

 

ÖRNEK: (+1) + (−4) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.

 

 

 

 

3)Tam Sayılarla Toplama İşlemi

*Aynı işaretli sayılarda toplama işlemi yapılırken sayıların mutlak değerleri toplanır ve sayıların ortak işareti sonuca verilir.[SPOT 11 ]

Örneğin;

(−5) + (−7) işleminde sayılar aynı işaretli olduğu için 5 + 7 = 12 bulunur ve ortak işaret olan ‘’−‘’ sonuca yazılır.

 

(−5) + (−7) = −12

 

*Ters işaretli sayılarda toplama işlemi yapılırken sayıların mutlak değerleri büyük olanından küçük olanı çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca verilir. [SPOT 12 ]

(−15) + (+8) işleminde sayılar ters işaretli olduğu için 15 − 8 = 7 bulunur ve mutlak değerce büyük olan 15’in işaret olan − sonuca yazılır.

 

(−15) + (+8) = −7

 

ÖRNEK: (−9) + (+12) işlemini yapalım. Burada 12 > 9 olduğundan 12−9=3 bulunur ve 12’nin işareti olan + sonucun işareti olur.

 

(−9) + (+12) = +3

 

TAM SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ

1)Sayma Pulları İle Tam Sayılarda Çıkarma İşlemi

  • Sayma pullarında (+) pul +1 sayısını, (−) pul −1 sayısını temsil eder.(+) ve (−) pullunun oluşturduğu çift sıfır kabul edilir. Çıkarma işleminde bizim elimizdeki pullardan istenilen pulları çıkarmamız esastır.

 

 

ÖRNEK: (+4) − (+1) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.

 

 

 

(Elimizde 4 tane (+) pul vardı, bizden bir tane (+) pulu çıkarmamızı istedi biz de çıkardık =)

 

ÖRNEK: (−2) − (−5) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.

 

 

 

 

 

(Elimizde 2 tane (−) pul var, bizden 5 tane (−) pul istiyor. Elimizde olmadığı için dışarıdan içinde 3 tane (−) 3 tane (+) pul bulunan 0 Çifti getiriyoruz. Şimdi elimizde 5 (−) ve 3 (+) pul var. Bizden istediği 5 (−) pulu verdik bize kaldı 3 tane (+) pul.)

ÖRNEK: (−6) − (+2) işlemini sayma pulları ile modelleyelim.

 

 

 

 

 

(Yukarıdaki örneğe benzer şekilde 6 (−) pulumuz var bizden 2 (+) pul çıkarmamızı istiyor. Dışarıdan içinde 2 (−) ve 2 (+) pul olan sıfır çifti getirdik. Çıkarmamızı istediği 2 (+) pulu çıkardık ve elimizde 8 (−) pul kaldı.)

 

2)Tam Sayılarla Çıkarma İşlemi

Tam sayılarla çıkarma işlemi toplama işleminden faydalanarak yapılır.

Bildiğiniz gibi:

A − B = C işleminde A sayısına eksilen, B sayısına çıkan, C sayısına fark denir. [SPOT 13 ]

Çıkarma işlemi yapılırken çıkan sayının işareti değiştirilir ve çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür. Daha sonra toplama işlemi yapılır. [SPOT 14 ]

ÖRNEK: (−3) − (+2) işlemini yapalım.

İşlemi toplama işlemine çevirmek için çıkan sayı olan +2’nin işaretini değiştiririz. Daha sonra toplama işlemi yaparız.

 

=(−3) − (+2)

 

= (−3) + (−2)              ,*Aynı işaretli sayılarda toplamayı yukarıda öğrenmiştik

 

= −5

 

ÖRNEK: (−7) − (−5) işlemini yapalım.

 

İşlemi toplama işlemine çevirmek için çıkan sayı olan −5’in işaretini değiştiririz. Daha sonra toplama işlemi yaparız.

 

= (−7) − (−5)

 

= (−7) + (+5)              *Ters işaretli sayılarda toplamayı yukarıda görmüştük.

 

= −2

 

ÖRNEK: −8 − 3 işlemini yapalım.

 

İşlemi toplama işlemine çevirmek için çıkan sayı olan 3’ün işaretini değiştiririz. 3’ün yazmasa bile pozitif bir sayı olduğunu biliyoruz. O yüzden −3’e dönüşür. Daha sonra toplama işlemi yaparız.

 

= −8 – 3                     

Burada çıkan sayı olan 3 sayısı +3’tür. − Burada işareti çıkarma işlemini temsil etmektedir.

 

= −8 + (−3)                             *Aynı işaretli sayılarda toplamayı yukarıda öğrenmiştik.

 

= −11

 

TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

TAM SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

 

 1)Toplama İşleminin Değişme Özelliği

  • Tam sayılarla toplama işlemi yaparken toplanan sayıların yerleri değiştirildiğinde toplam yani sonuç değişmez. Tam sayılarda toplama işleminin bu özelliğine değişme özelliği denir.

ÖRNEK: Aşağıdaki işlemleri inceleyecek olursak toplanan sayıların yerlerinin değişmesinin sonucu etkilemediğini görürüz.

3 + 5 = 8

 

5 + 3 = 8

 

ÖRNEK:

7 + (−3) = 4

 

(−3) + 7 = 4

 

2)Toplama İşleminin Birleşme Özelliği

  • Üç veya daha fazla tam sayı ile toplama işlemi yaparken öncelikle hangi sayı çiftinin toplandığının işlem sonucuna bir etkisi yoktur. Tam sayılard toplama işleminin bu özelliğine birleşme özelliği denir.

ÖRNEK: 1+2+3 işlemini yapalım. Bu işlemi yaparken önce hangi iki sayıyı topladığımız sonucu etkilemez.

 

( 1 + 2 ) + 3     |     1 + ( 2 + 3 )

 

  3 + 3 = 6        |       1 + 5 = 6

 

  • Değişme ve birleşme özelliği işlem yaparken pratik yapmamıza yardımcı olabilir. [SPOT 15 ]

 

Örneğin; 25 + 89 + 75 işleminde önce

25+75’i yapmak daha sonra 89 eklemek daha kolaydır.

 

3)Toplama İşleminin Etkisiz Elemanı (Birim Eleman)

  • İşleme girdiğinde sonucu değiştirmeyen sayıya etkisiz eleman denir.
  • Toplama işleminde bir sayıyı 0 (sıfır) ile topladığımızda sonuç toplanan sayı olur. Bu yüzden toplama işleminin etkisiz (birim) elemanı sıfırdır. [SPOT 16 ]

5 + 0 = 5

 

−3 + 0 = −3

 

0 + 7 = 7

 

4)Toplama İşlemine Göre Ters Eleman

  • Bir tam sayı ile toplamı sıfıra eşit olan sayıya o tam sayının toplama işlemine göre tersi denir. Yani toplamları 0 olan iki sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.

ÖRNEK: 5 + ( −5 ) = 0 olduğu için

 

5’in toplama işlemine göre tersi −5 ‘tir.

 

−5’in toplama işlemine göre tersi +5 ‘tir.

 

ÖRNEK:

−32’nin toplama işlemine göre tersi +32’dir.

 

98’in toplama işlemine göre tersi −98’dir.

 

 

 

6. Sınıf Matematik Dersi

Tam Sayılar alt başlıkları

Konunun Spot Bilgisi

[SPOT-1] Olumlu durumlarda pozitif tam sayıları ( + ), olumsuz durumlarda ise negatif tam sayıları ( − ) kullanırız.

[SPOT-2] Sıfır hariç önünde işaret bulunmayan sayıların işareti “+”dır.Yani pozitif sayılardır.

[SPOT-3] Sıfır sayısı ne pozitif ne de negatif bir tam sayıdır.

[SPOT-4] Tam sayılar kümesi ise pozitif tam sayılar, negatif tam sayılar ve sıfırdan oluşur.

[SPOT-5] Mutlak değer sıfıra olan uzaklık olduğu için uzaklık birimi negatif olamayacağından mutlak değer asla negatif bir sayı olamaz. 0 sayısının mutlak değeri 0’dır. Bunun dışındaki sayıların mutlak değeri pozitiftir. [

[SPOT-6] Sayı doğrusunda sağa doğru gidildikçe sayılar büyür, sola doğru gidildikçe sayılar küçülür. Diğer bir ifade ile pozitif sayılar sıfırdan uzaklaştıkça büyür, negatif tam sayılar sıfırdan uzaklaştıkça küçülürler

[SPOT-7] Negatif tam sayıları karşılaştırırken borç olarak düşünmeniz karşılaştırmanızı kolaylaştıracaktır.

[SPOT-8] Bütün pozitif tam sayılar 0’dan büyüktür. Bütün negatif tam sayılar 0’dan küçüktür. Herhangi bir pozitif tam sayı, bütün negatif tam sayılardan büyüktür. Herhangi bir negatif tam sayı, bütün pozitif tam sayılardan küçüktür. Sayı doğrusundaki bir sayı, sağındaki sayılardan küçük, solundakilerden büyüktür. En büyük negatif tam sayı −1’dir. En küçük pozitif tam sayı +1’dir.

[SPOT-9] Sayı doğrusunda toplama işlemi yapılırken toplanan sayılardan birincisinin büyüklüğü kadar sıfırdan başlayarak ok çizilir. Toplanan diğer sayının okunun başlangıç noktası, ilk okun bittiği yerdir. Sayı pozitif ise sağa doğru, negatif ise sola doğru hareket edilir. Sonuç sıfırdan başlanarak sayı doğrusunun altına çizilir.

[SPOT-10] Sayma pullarında (+) pul +1 sayısını, (−) pul −1 sayısını temsil eder.(+) ve (−) pullunun oluşturduğu çift sıfır kabul edilir.

[SPOT-11] Aynı işaretli sayılarda toplama işlemi yapılırken sayıların mutlak değerleri toplanır ve sayıların ortak işareti sonuca verilir.

[SPOT-12] Ters işaretli sayılarda toplama işlemi yapılırken sayıların mutlak değerleri büyük olanından küçük olanı çıkarılır ve mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca verilir.

[SPOT-13] A − B = C işleminde A sayısına eksilen, B sayısına çıkan, C sayısına fark denir.

[SPOT-14] Çıkarma işlemi yapılırken çıkan sayının işareti değiştirilir ve çıkarma işlemi toplama işlemine dönüştürülür. Daha sonra toplama işlemi yapılır.

[SPOT-15] Değişme ve birleşme özelliği işlem yaparken pratik yapmamıza yardımcı olabilir.

[SPOT-16] Toplama işleminde bir sayıyı 0 (sıfır) ile topladığımızda sonuç toplanan sayı olur. Bu yüzden toplama işleminin etkisiz (birim) elemanı sıfırdır

Konunun Önemli Terimleri

  • POZİTİF - NEGATİF TAM SAYILAR: Sayıların önüne konulan işaretler sayının yönünü belirtir. Önünde “+” olan sayılara pozitif tam sayılar, önünde “−” olan sayılara ise negatif tam sayılar denir.
  • MUTLAK DEĞER: Bir tam sayının referans noktasına yani sıfıra (0) olan uzaklığına o tam sayının mutlak değeri denir.
  • DEĞİŞME ÖZELLİĞİ: Tam sayılarla toplama işlemi yaparken toplanan sayıların yerleri değiştirildiğinde toplam yani sonuç değişmez. Tam sayılarda toplama işleminin bu özelliğine değişme özelliği denir.
  • BİRLEŞME ÖZELLİĞİ: Üç veya daha fazla tam sayı ile toplama işlemi yaparken öncelikle hangi sayı çiftinin toplandığının işlem sonucuna bir etkisi yoktur. Tam sayılard toplama işleminin bu özelliğine birleşme özelliği denir.
  • ETKİSİZ ELEMAN: İşleme girdiğinde sonucu değiştirmeyen sayıya etkisiz eleman denir.
  • TOPLAMA İŞLEMİNE GÖRE TERSİ: Bir tam sayı ile toplamı sıfıra eşit olan sayıya o tam sayının toplama işlemine göre tersi denir. Yani toplamları 0 olan iki sayı toplama işlemine göre birbirinin tersidir.