ÜÇGENLER 

Doğrusal olmayan üç noktayı birleştiren doğru parçalarının meydana getirdiği şekle üçgen denir. 

KÖŞELERİ: A, B ve C noktaları üçgenin köşeleridir. 

KENARLARI: [AB], [BC] ve [AC] üçgenin kenarlarıdır. 

KENAR UZUNLUKLARI: a, b ve c üçgenin kenar uzunluklarıdır. 

ÜÇGENLERİN KENAR UZUNLUKLARI ARASINDAKİ İLİŞKİ (ÜÇGEN EŞİTSİZLİĞİ) 

Bir üçgende bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden büyüktür. Bu eşitsizliğe üçgen eşitsizliği denir. 

Yukarıdaki ABC üçgeni için: 

a + b > c > |a−b| 

a + c > b > |a−c| 

b + c > a > |b−c| olur. 

ÖRNEK: Aşağıdaki mavi, kırmızı ve siyah çubukları uç uca ekleyerek üçgen oluşturulabilir mi? 

Üç tane doğru parçasını uç uca ekleyerek üçgen elde etmek istiyorsak bu doğru parçalarından herhangi birinin uzunluğu, diğer ikisinin uzunluğunun toplamından kısa, farkından uzun olmalıdır. 

Yukarıdaki örnekleri inceleyelim. 

1. ŞEKİL: 

3cm, 4cm, 5cm uzunluğunda üç tane çubuğu uç uca ekleyerek üçgen oluşturabiliriz. 

Çünkü bir kenar uzunluğu diğerlerinin toplamından küçük, farkından büyüktür. 

4+3 > 5 > 4−3 

7 > 5 > 1 

2. ŞEKİL: 

1cm, 3cm, 5cm uzunluğundaki üç tane çubuğu uç uca ekleyerek üçgen oluşturamayız. 

Çünkü bir kenar diğer ikisinin toplamından uzundur. 

3+1 > 5 > 3−1 

4 > 5 > 2 (4 sayısı 5’ten büyük değildir.) 

ÖRNEK: Aşağıda verilen uzunluklara göre belirtilen üçgenlerin çizilip çizilemeyeceğini bulalım. 

1) |AB| = 8 cm , |AC| = 4 cm , |BC| = 10 cm olan bir ABC üçgeni: 

İki kenarı toplar, diğer kenardan büyük mü diye bakarız. 

8+4   = 12 > 10 

8+10 = 18 > 4 

4+10 = 14 >8 

olduğu için çizilebilir. 

2) |DE| = 3 m , |EF| = 5,5 m , |DF| = 9 m olan bir DEF üçgeni: 

3 + 5,5   = 8,5 > 9   (8,5 sayısı 9’dan büyük değildir.) 

5,5 + 9  = 14,5 > 3 

3 + 9     = 12 > 5,5 

olduğu için çizilemez. 

ÖRNEK: Bir üçgenin iki kenarının uzunlukları 15 cm, 12 cm ise diğer kenarının uzunluğu kaç cm olabilir? 

Verilmeyen kenarın uzunluğuna x dersek bu kenarın uzunluğuna dair üçgen eşitsizliğini yazarız. 

15 + 12 > x > 15 − 12 

27 > x > 3 

Bu kenarın uzunluğu 27 cm ile 3 cm arasında olabilir. 

ÜÇGENDE AÇI KENAR BAĞINTILARI 

* Bir üçgende küçük açı karşısında kısa kenar, büyük açı karşısında uzun kenar vardır.  [SPOT 3 ]

ise a > b > c olur. 

*Eğer açılar eşit ise bu açıların karşısındaki kenarlar da eşittir.  [SPOT 4 ]

*Dik açılı üçgenlerde, dik açıdan daha büyük açı olamayacağı için hipotenüsün (dik açının karşısındaki kenar) uzunluğu dik kenarların uzunluklarından daha büyüktür. [SPOT 5 ]

*Geniş açılı üçgenlerde geniş açıdan daha büyük açı olamayacağı için en uzun kenar geniş açının karşısındakidir.  [SPOT 6 ]

ÖRNEK: Aşağıda iki iç açısının ölçüsü verilen üçgenlerin kenar uzunluklarını büyükten küçüğe doğru sıralayalım. 

Sorunun a şıkkındaki üçgende: 

Verilmeyen A açısının ölçüsünü buluruz. 

105° + 30° = 135° 

180° − 135° = 45° 

Şimdi açıların büyüklüğüne göre kenarları sıralarız: |AC| > |BC| > |AB| 

Sorunun b şıkkındaki üçgende:  

Verilmeyen B açısının ölçüsünü buluruz. 

90° + 30° = 120° 

180° − 120° = 60° 

Şimdi açıların büyüklüğüne göre kenarları sıralarız: |AC| > |AB| > |BC| 

Sorunun c şıkkındaki üçgende:  

Verilmeyen C açısının ölçüsünü buluruz. 

60° + 60° = 120° 

180° − 120° = 60° 

Eşit açıların karşısındaki kenarların uzunlukları eşit olduğu için: |AC| = |AB| = |BC| 

ÜÇGEN ÇİZİMİ İÇİN GEREKLİ ŞARTLAR 

Üçgenin temel elemanları, kenarları ve açılarıdır. Belirli bir üçgenin çizilebilmesi için bu temel elemanlardan en az üç tanesi bilinmeli ve bu bilgilerden en az biri kenar uzunluğu olmalıdır. 

Üç kenar uzunluğu, iki kenar uzunluğu ile bu kenar arasındaki açının ölçüsü veya bir kenarının uzunluğu ile iki açısının ölçüsü verilen bir üçgen cetvel, açıölçer ve pergel kullanılarak çizilebilir. 

Şimdi yeterli elemanı verilen üçgenler nasıl çizilir öğrenelim. 

1) ÜÇ KENARININ UZUNLUĞU VERİLEN ÜÇGENİN ÇİZİMİ 

Üç kenar uzunluğu verilen bir üçgen cetvel ve pergel kullanılarak çizilebilir. 

ÖRNEK: Kenar uzunlukları 4 cm, 5 cm ve 6 cm olan üçgeni çizelim. 

1. ADIM: Cetvel yardımıyla herhangi bir kenar çizilir. 

4 cm uzunluğunda bir [AB] çizelim. 

2. ADIM: Pergel, geriye kalan kenarlardan biri kadar açılır ve 1. adımda çizilen doğru parçasının bir ucuna konulur ve bir yay çizilir. 

B noktasını merkez alarak pergelle 5 cm yarıçaplı bir yay çizelim. 

3. ADIM: Bu sefer pergel son kalan kenarın uzunluğu kadar açılır ve 1. adımda çizilen doğru parçasının diğer ucuna koyup 2. adımda çizdiğimiz yayla kesişecek bir yay çizilir. 

A noktasını merkez alarak pergelle 6 cm yarıçaplı bir yay çizelim. Bu yayın diğer yayla kesiştiği noktayı C olarak isimlendirelim. 

4. ADIM: Bu yayların kesişim noktası, 1. adımda çizilen doğru parçasının uçları ile birleştirilerek üçgen oluşturulur. 

Cetvel kullanarak C noktasını A ve B noktaları ile birleştirelim. 

2) İKİ KENAR UZUNLUĞU VE BİR AÇISININ ÖLÇÜSÜ VERİLEN ÜÇGENİN ÇİZİMİ 

İki kenar uzunluğu ile bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü verilen bir üçgen açıölçer ve cetvel yardımıyla çizilebilir. 

ÖRNEK: |KL| = 5 birim, |KM| = 4 birim ve m(LKM)=60° olan bir KLM üçgeni çizelim. 

1. ADIM: Cetvel yardımıyla verilen bir kenar çizilir. 

5 birim uzunluğundaki [KL]’nı çizelim. 

2. ADIM: Çizilen doğru parçasının ucuna verilen açı oluşturulur. 

K noktasını merkez alarak açıölçerle ölçüsü 60° olan LKM açısını çizelim. 

3. ADIM: Verilen diğer kenar, 1. adımda çizdiğimiz kenarın ucuna 2. adımda oluşturduğumuz açıyı yapacak şekilde çizilir. 

Uzunluğu 4 birim olan [KM]’nı çizelim. 

4. ADIM: Çizilen kenarların uçları birleştirerek üçgen oluşturulur. 

M ve L noktalarını bir doğru parçasıyla birleştirelim ve KLM üçgenini elde edelim. 

3) BİR KENAR UZUNLUĞU VE İKİ AÇISININ ÖLÇÜSÜ VERİLEN ÜÇGENİN ÇİZİMİ 

Bir kenarının uzunluğu ile bu kenara ait açılarının ölçüleri verilen bir üçgen açıölçer ve cetvel yardımıyla çizilebilir. 

ÖRNEK: |DE| = 6 cm, m(DEF) = 45° ve m(EDF) = 55° olan bir DEF üçgeni çizelim. 

1. ADIM: Cetvel yardımıyla verilen kenar çizilir. 

6 cm uzunluğunda bir [DE] çizelim. 

2. ADIM: Açı ölçer yardımıyla 1. adımdaki doğru parçasının bir ucuna, o köşe için verilen açıyı oluşturacak şekilde bir doğru parçası çizilir. 

Açıölçeri kullanarak ölçüsü 45° olan DEF açısını oluşturalım. 

3. ADIM: Açı ölçer yardımıyla 1. adımdaki doğru parçasının diğer ucuna, o köşe için verilen açıyı oluşturacak şekilde bir doğru parçası çizilir. 

Benzer şekilde ölçüsü 55° olan EDF açısını oluşturalım. 

4. ADIM: Çizdiğimiz bu kollar kesiştirilerek üçgen oluşturulur. 

Bu iki açının kollarını üçgen oluşturacak şekilde uzatarak birleştirelim. 

*Sadece üç açısının ölçüsü verilen (herhangi bir kenar uzunluğu verilmeyen) belirli bir üçgen çizilemez. Bu bilgilerle sonsuz farklı üçgen çizilebilir.  [SPOT 7 ]

ÖRNEK: Bütün açıları 60° olan bir üçgen çizelim. Bu üçgen eşkenar üçgendir ve her boyutta eşkenar üçgen çizebileceğimiz için belirli bir üçgen çizemeyiz.