5. Sınıf Matematik Dersi

Doğal Sayılarla İşlemler Konusu ve alt başlıkları

Ders : Matematik

Doğal Sayılarla İşlemler

DOĞAL SAYILARDA TOPLAMA İŞLEMİ

  1. Doğal sayılarda toplama işlemi yapılırken aynı adlı basamaklar alt alta gelecek şekilde sayılar yazılır.

4567 ile 325’i toplamak istersek aynı basamakların alt alta gelmesine dikkat etmeliyiz.

  4 5 6 7                                 
+   3 2 5

2) Daha sonra işlemler en sağdaki basamaktan (birler basamağından) sola doğru sırayla yapılır.

3) Bir basamakta yapılan toplama işleminde sonuç iki basamaklı çıkıyorsa onlar basamağındaki rakam bir sonraki basamağa elde olarak alınır.


  1.   4 5 6 7
    +   3 2 5

                2

Yukarıdaki örneği incelersek toplama işlemine sağdaki basamaktan başlıyoruz. 7 ile 5’i toplayınca çıkan sonuç iki basamaklı olduğu için 2’yi yazarız, 1’i elde olarak alırız. Daha sonra onlar basamağındaki rakamları toplarız. 1+6+2=9 ve bu şekilde devam ederek işlemi tamamlarız.


  1.   4 5 6 7
    +   3 2 5

       4 8 9 2

TOPLAMA İŞLEMİNDE VERİLMEYEN SAYIYI BULMA

Eğer toplama işleminde toplanan sayılardan herhangi biri verilmezse toplamdan verilen toplanan çıkartılarak bulunur. [SPOT 1 ]

Örnek verecek olursak 3 + … = 4 işleminde … yerine 1 gelecek bildiğiniz gibi. Bunu 4’ten 3’ü çıkartarak buluruz.

Benzer şekilde …. + 2 = 7 işleminde … yerine 5 geleceğini 7’den 5’i çıkararak buluruz. 

Örnek:

 … … … …
+  2  3  0
 3  4  5  6

işleminde verilmeyen sayıyı bulmak için 3456’dan 230 çıkartırız ve verilmeyen sayıyı 3226 buluruz.

TOPLAMA İŞLEMİNDE VERİLMEYEN RAKAMLARI BULMA

Eğer toplama işleminde bazı basamaklardaki rakamlar verilmemişse bu rakamları tek tek bulabiliriz veya pratik olarak bu verilmeyen rakamlar yerine sıfır yazarak toplama işlemini yaparız. Bulduğumuz cevapla verilen cevap arasındaki farka bakarak verilmeyen rakamları buluruz. [SPOT 2 ]

ÖRNEK: 

   A 5 B        0 5
+2 C 4     + 2 0 4

   5 7 9         2 5 4

579’dan 254 çıkartırız = 325

Demek ki yüzler basamağı yani A=3, onlar basamağı yani C=2,birler basamağı yani B=5

DOĞAL SAYILARDA ÇIKARMA İŞLEMİ

1) Doğal sayılarda çıkarma işlemi yapılırken aynı adlı basamaklar alt alta gelecek şekilde sayılar yazılır.

4564 ile 325’i çıkartmak istersek aynı basamakların alt alta gelmesine dikkat etmeliyiz.

  4  5  6  4
−     3  2  5

2) Daha sonra işlemler en sağdaki basamaktan (birler basamağından) sola doğru sırayla yapılır.

3) Bir basamakta yapılan işlemde eksilen sayıdaki rakam çıkan sayıdaki rakamdan küçükse soldaki basamaktan bir onluk alınır.

        (5) (14)
  4  5  6  4
−    3  2  5

               9

Yukarıdaki örneği incelersek çıkarma işlemine sağdaki basamaktan başlıyoruz. 4’ten 5 çıkmadığı için yandaki basamaktan bir onluk alırız. Yandaki 6 sayısı 5 olur ve gelen onlukla beraber 4’ümüz 14 olur. 14’ten 5 çıkartarak 9 buluruz ve bu şekilde devam ederek işlemi tamamlarız.

        (5) (14)
  4  5  6  4
−    3  2  5

  4  2  3  9

 ÇIKARMA İŞLEMİNDE VERİLMEYEN SAYIYI BULMA

Eğer çıkarma işleminde eksilen sayı verilmezse çıkan sayıyla fark toplanarak bulunur.
 

EKSİLEN = ÇIKAN + FARK   [SPOT 3 ]

Örneğin … − 2 = 6 işlemine … yerine 8 gelir. Bunu 2 ile 6’yı toplayarak buluruz.

Eğer çıkarma işleminde çıkan sayı verilmezse eksilen sayıdan fark çıkartılarak bulunur. 

ÇIKAN = EKSİLEN − FARK     [SPOT 4 ]

Örnek verecek olursak 9 − … = 4 işleminde … yerine 5 gelecek bildiğiniz gibi. Bunu 9’dan 4’ü çıkartarak buluruz.

ÖRNEK:

… … … …
−   2  3  0

 3  4  5  6

işleminde verilmeyen sayıyı bulmak için 3456’a 230 ekleriz ve eksilen sayıyı 3686 buluruz.

ÖRNEK:

 2  4  9  5
−   … … …

2  2  5  1

işleminde verilmeyen sayıyı bulmak için 2495’ten 2251’i çıkartırız ve çıkan sayıyı 244 buluruz.

 ÇIKARMA İŞLEMİNDE VERİLMEYEN RAKAMLARI BULMA

Bunu bir örnekle inceleyelim:

1 A 4 B
− 2 C 5

1 5 2 7

işleminde önce B’yi bulalım. B’den 5 çıkmış 7 kalmış. 5+7=12

o zaman B 2’dir ve onluk yandan alınmıştır. 4’ten bir onluk aldık 3 kaldı.

Şimdi C’yi bulalım. 3’ten C çıkmış 2 kalmış. 3−2=1

Şimdi A’yı bulalım. A’dan 2 çıkmış 5 kalmış. 2+5=7

TOPLAMA VE ÇIKARMA İŞLEMLERİ ZİHİNDEN NASIL YAPILIR?

1.YÖNTEM – SAYILARI BASAMAKLARINA AYIRMA

Bu yöntemde onluklarla onlukları, birliklerle birlikleri zihinden toplarız/çıkartırız.

ÖRNEK: 21 + 24 işlemini yapalım.

21 = 20 + 1

24 = 20 + 4

( 20 + 20 ) + ( 1 + 4 )

40 + 5 = 45

ÖRNEK: 38 + 14 işlemini yapalım

38 = 30 + 8

14 = 10 + 4

( 30 + 10 ) + ( 8 + 4 )

40 + 12 = 52

ÖRNEK: 38 − 14işlemini yapalım

38 = 30 + 8

14 = 10 + 4

( 30 − 10 ) + ( 8 − 4 )

20 + 4 = 24

2.YÖNTEM – UYGUN SAYILARI KULLANMA

Zihinden işlem yaparken sayılardan biri 10, 100, 1000 veya bunların katları gibi sonu sıfır ile biten bir sayıya yakınsa bu sayıdan faydalanarak işlem yapmak daha kolaydır.

TOPLAMA İŞLEMİNE ÖRNEK: 27 + 19 işlemini yapalım.

Toplamada bir sayıdan azaltıp diğer sayıya ekleyebiliriz.

19 sayısı 20 olsa işlem daha kolay olacağından 27’den 1 çıkartır 19’a ekleriz.

27 + 19 = 26 + 20 = 46

ÇIKARMA İŞLEMİNE ÖRNEK: 27 − 19 işlemini yapalım.

Çıkarmada her iki sayıya aynı sayıyı ekleyebiliriz veya her iki sayıdan aynı sayıyı çıkarabiliriz.

19 sayısı 20 olsa işlem daha kolay olacağından her iki sayıya 1 ekleriz.

27 − 19 = 28 − 20 = 8

 

TOPLAMA İŞLEMİNİN SONUCUNU TAHMİN ETME

Doğal sayılarla toplama işleminin sonucunu tahmin etmek için farklı yöntemler kullanabiliriz.

YUVARLAMA YÖNTEMİ

Yuvarlama metodunda, toplayacağımız sayıların ikisi birden veya yalnızca birini yuvarlayabiliriz. Yuvarlama işlemini en yakın yüzlüğe veya en yakın binliğe yapabiliriz.

Şimdi yuvarlama nasıl yapılır görelim:

→ Yuvarlama yapmak istediğimiz basamaktan bir küçük basamağa bakarız.

→ Eğer buradaki rakam 5 veya 5’ten büyükse yuvarlama yapacağımız basamağı bir arttırırız, daha küçük basamakları sıfırlarız.

→ Eğer buradaki rakam 5’ten küçükse yuvarlama yapacağımız basamakta değişiklik yapmadan daha küçük olan basamakları sıfırlarız. [SPOT 5 ]

ÖRNEK: 38362 sayısını en yakın yüzlüğe ve binliğe yuvarlayalım.

Önce yüzlüğe yuvarlamayı yapalım. Sayının yüzler basamağını işaretleyelim ve bir küçük basamağa bakalım. Altı çizili basamak 5’ten büyük olduğu için yüzler basamağını bir arttırırız ve sağındaki basamakları sıfırlarız.

38362 → 38400

Şimdi binliğe yuvarlama yapalım. Sayıların binler basamağını işaretleyelim ve bir küçük basamağa bakalım. Altı çizili basamak 5’ten küçük olduğu için binler basamağını değiştirmeden sağındaki basamakları sıfırlarız.

38362 → 38000

Şimdi yuvarlama yöntemini kullanarak bir toplama işleminin cevabını tahmin edelim.

 

ÖRNEK: 4523 + 3291 işleminin sonucunu tahmin edelim.

Bu iki sayıyı yüzler basamağına göre yuvarlayalım:

4523 → 4500

3291 → 3300

4500 + 3300 = 7800 şeklinde tahminde bulunabiliriz. İşlemin gerçek sonucu 4523 + 3291 = 7814

* Eğer iki sayı topluyorsak bu sayılardan sadece birini de yuvarlayarak tahmin yapabiliriz. [SPOT 6 ]

4523 + 3300 = 7823

SOLDAN SAĞA TOPLAMA YÖNTEMİ

Bu yöntemde toplayacağımız sayıların basamaklarını soldan sağa doğru ayrı ayrı toplayıp yaklaşık bir değer bulabiliriz.

ÖRNEK: 573 + 221 işleminin sonucunu tahmin edelim.

5 yüzlük + 2 yüzlük = 700

7 onluk + 2 onluk = 90

Sonuç yaklaşık olarak 790’dır.

GRUPLAMA YÖNTEMİ

Üç veya daha fazla doğal sayının toplamının sonucunu tahmin ederken bu sayıları toplamları yaklaşık olarak 100 veya 1000 olacak gruplayabiliriz.

ÖRNEK:252 + 670 + 342 + 764 işleminin tahmini sonucunu bulalım.

252 ve 764’ün toplamına yaklaşık 1000

670 ve 342’nin toplamına yaklaşık 1000 dersek sonucu 2000 diye tahmin edebiliriz.

ÖRNEK: 46 + 21 + 58 + 70 + 84 + 25 işleminin tahmini sonucunu bulalım.

 

ÇIKARMA İŞLEMİNİN SONUCUNU TAHMİN ETME

 

 Benzer şekilde doğal sayılarla çıkarma işleminin sonucunu tahmin etmek için farklı yöntemler kullanabiliriz.

YUVARLAMA YÖNTEMİ

Yuvarlama metodunda, istersek eksilen ve çıkanın ikisi birden yuvarlayabiliriz veya sadece çıkan sayıyı yuvarlayabiliriz. Yuvarlama işlemini en yakın yüzlüğe veya en yakın binliğe yapabiliriz. [SPOT 7 ]

Şimdi yuvarlama nasıl yapılır görelim:

-Yuvarlama yapmak istediğimiz basamaktan bir küçük basamağa bakarız.

-Eğer buradaki rakam 5 veya 5’ten büyükse yuvarlama yapacağımız basamağı bir arttırırız, daha küçük basamakları sıfırlarız.

-Eğer buradaki rakam 5’ten küçükse yuvarlama yapacağımız basamakta değişiklik yapmadan daha küçük olan basamakları sıfırlarız.

ÖRNEK: 38362 sayısını en yakın yüzlüğe ve binliğe yuvarlayalım.

Önce yüzlüğe yuvarlamayı yapalım. Sayının yüzler basamağını işaretleyelim ve bir küçük basamağa bakalım. Altı çizili basamak 5’ten büyük olduğu için yüzler basamağını bir arttırırız ve sağındaki basamakları sıfırlarız.

38362 → 38400

Şimdi binliğe yuvarlama yapalım. Sayıların binler basamağını işaretleyelim ve bir küçük basamağa bakalım. Altı çizili basamak 5’ten küçük olduğu için binler basamağını değiştirmeden sağındaki basamakları sıfırlarız.

38362 → 38000

Şimdi yuvarlama yöntemini kullanarak bir çıkarma işleminin cevabını tahmin edelim.

ÖRNEK: 4523 − 3291 işleminin sonucunu tahmin edelim.

Bu iki sayıyı yüzler basamağına göre yuvarlayalım:

4523 → 4500

3291 → 3300

4500 − 3300 = 1200 şeklinde tahminde bulunabiliriz. İşlemin gerçek sonucu 4523 − 3291 = 1232

*Çıkarma işleminde sadece çıkan sayıyı yuvarlayarak tahmin yapabiliriz. [SPOT 8 ]

4523 − 3300 = 1223

SOLDAN SAĞA ÇIKARMA YÖNTEMİ

Bu yöntemde işlem yapılan sayıların basamaklarını soldan sağa doğru ayrı ayrı çıkartıp sonra çıkan sonuçları toplayıp yaklaşık bir değer bulabiliriz.

ÖRNEK: 573 − 221 işleminin sonucunu tahmin edelim.

5 yüzlük − 2 yüzlük = 300

7 onluk − 2 onluk = 50

Sonuç yaklaşık olarak 350’dır.

 

DOĞAL SAYILARDA ÇARPMA İŞLEMİ

 

Çarpma işleminde çarpılan sayılara çarpan denir.

Yapılan çarpma işleminin sonucuna  çarpım denir. Çarpma işlemi x veya . işaretiyle gösterilir.

Çarpma işlemi bir sayıyı tekrar tekrar toplama işlemidir.

Örneğin her birinde 10 misket bulunan 3 poşette toplam kaç misket olduğunu toplama işlemiyle (10+10+10=30) veya kısa yoldan çarpma işlemiyle (10×3=30) bulabiliriz.

ÖRNEK: 532 x 245 işleminin sonucunu bulalım.

ÇÖZÜM:

532’yi önce 5 ile çarpar ilk satıra yazarız.

 Daha sonra 532’yi 4 ile çarpar ikinci satıra yazarız ancak en sağında bir tane sıfır varmış gibi düşünürüz. Burayı sıfırı yazmayıp boş da bırakabiliriz.

Daha sonra  532’yi 2 ile çarparız ve bir alt satıra sonunda iki tane sıfır varmış gibi yazarız veya iki basamak boş kaydırırız.

10, 100 VE 1000 İLE KISA YOLDAN ÇARPMA İŞLEMİ

Doğal sayıları 10, 100, 1000 ile çarpmak için sayının sonuna, çarptığımız sayının sonundaki sıfır sayısı kadar sıfır konur. [SPOT 9 ]

10 ile çarparken sayının sonuna bir 0 (sıfır) konur.

453 x 10 = 4530

 100 ile çarparken sayının sonuna iki 0 (sıfır) konur.

612 x 100 = 61200

1000 ile çarparken sayının sonuna üç 0 (sıfır) konur.

659 x 1000 = 659000

5 İLE KISA YOLDAN ÇARPMA İŞLEMİ

Doğal sayıları 5 ile kısa yoldan çarpmak için sayının yarısı 10 ile çarpılır veya tam tersi önce 10 ile çarpar sonra ikiye böleriz. [SPOT 10 ]

214 x 5 = 107 x 10 = 1070 (Sayının yarısını 10 ile çarptık)

225 x 5 = 2250 : 2 = 1125 (Sayının 10 katını ikiye böldük)

9 İLE KISA YOLDAN ÇARPMA İŞLEMİ

Doğal sayıları 9 ile kısa yoldan çarpmak için sayı 10 ile çarpılır ve sonuçtan sayıyı çıkartırız. [SPOT 11 ]

52 x 9 = 520 – 52 = 468

225 x 9 = 2250 – 225 = 2025

11 İLE KISA YOLDAN ÇARPMA İŞLEMİ

Doğal sayıları 11 ile kısa yoldan çarpmak için sayı 10 ile çarpılır ve sonuca sayının kendisi eklenir. [SPOT 12 ]

362 x 11 = 3620 + 362 = 3982

 54 x 11 = 5 9 4 (11 ile iki basamaklı sayı çarpıyorsak sayının ortasına rakamları toplamı yazılır)

 68 x 11 = 61 4  8 = 748 (Eğer toplam iki basamaklı çıkarsa 1’i sağdaki rakama ekleriz.)

99 İLE KISA YOLDAN ÇARPMA İŞLEMİ

Doğal sayıları 99 ile kısa yoldan çarpmak için sayı 100 ile çarpılır ve sonuçtan sayı bir kez çıkartılır. [SPOT 13 ]

14 x 99 = 1400 – 14 = 1386

 326 x 99 = 32600 – 326 = 32274

101 İLE KISA YOLDAN ÇARPMA İŞLEMİ

Doğal sayıları 101 ile kısa yoldan çarpmak için sayı 100 ile çarpılır ve sonuca sayı bir kez eklenir. [SPOT 14 ]

15 x 101 = 1500 + 15 = 1515

74 x 101 = 7400 + 74 = 7474

 

DOĞAL SAYILARDA BÖLME İŞLEMİ

 

Bir çokluğun eşit gruplara ayrılması için yapılan işleme bölme işlemi diyebiliriz. Bölme işlemini ” ÷ ” veya ” : ” veya ” / ” sembolleriyle gösterebiliriz.

 

 

Bölme işleminde Bölünen sayı Bölen sayıya bölünerek Bölüm ve Kalan bulunur.

Bölme işleminin sağlamasında ise Bölünen sayıyı bulmak için Bölen ile Bölüm çarpılır ve Kalan eklenir.

Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan   [SPOT 15 ]

KALANSIZ BÖLME İŞLEMİ

Kalanı 0 (sıfır) olan bölme işlemine kalansız bölme işlemi denir.

ÖRNEK: 50 tane misketi 5 arkadaşa eşit olarak paylaştırırsak her birine 10’ar tane düşer ( 50 : 5 = 10 ) ve hiç misket artmaz. Bu bölme işlemi kalansız bölme işlemidir.

SORU: 672 : 8 işleminin sonucunu bulunuz.

      

KALANLI BÖLME

Kalanı 0 (sıfır)’dan farklı olan bölme işlemine kalanlı bölme işlemi denir.

ÖRNEK: 52 tane misketi 5 arkadaşa eşit olarak paylaştırırsak her birine 10’ar tane düşer ve 2 misket artar. Bu bölme işlemi kalanlı bölme işlemidir.

SORU: 8407 : 3 işleminin sonucunu bulunuz.

BÖLME İŞLEMİNİN ÖZELLİKLERİ

* Bölünen Sayı = Bölen x Bölüm + Kalan

13’ü 4’e bölersek bölüm 3, kalan 1 olur. 13 = 4 x 3 + 1

* Bir bölme işleminde bölen sayı her zaman kalandan büyüktür. [SPOT 16 ]

A sayısının B’ye bölümünden kalan C olsun. Bu durumda C sayısı B’den küçük olmak zorundadır.

* Sıfır hariç her doğal sayının kendisine bölümü 1’dir. [SPOT 17 ]

32 : 32 = 1

* Bir doğal sayının 1’e bölümü kendisine eşittir. [SPOT 18 ]

54 : 1 = 54

* Bir doğal sayının sıfıra bölümü tanımsızdır. [SPOT 19 ]

24 : 0 = tanımsız

* Sıfır’ın bir sayma sayısına bölümü sıfırdır. [SPOT 20 ]

0 : 15 = 0

10, 100 VE 1000 İLE KISA YOLDAN BÖLME İŞLEMİ

Doğal sayıları 10, 100, 1000 ile pratik bölmek için sayının sonundan, böldüğümüz sayının sonundaki sıfır sayısı kadar sıfır silinir. [SPOT 21 ]

* 10’a bölerken sayının sonundan bir 0 (sıfır) silinir.

4530 : 10 = 453

* 100’e bölerken sayının sonundan iki 0 (sıfır) silinir.

61200 : 100 = 612

* 1000’e bölerken sayının sonundan üç 0 (sıfır) silinir.

659000 : 1000 = 659

5 İLE KISA YOLDAN BÖLME İŞLEMİ

Doğal sayıları 5 ile kısa yoldan bölmek için sayıyı iki ile çarpar sonra 10’a böleriz. [SPOT 22 ]

25 : 5 = 50 : 10 = 5 (Sayının iki katını 10’a böldük) 120 : 5 = 240 : 10 = 24 (Sayının iki katını 10’a böldük)

 

ÇARPMA İŞLEMİNİN SONUCUNU TAHMİN ETME

Doğal sayılarla çarpma işleminin sonucunu tahmin etmek için yuvarlama yöntemini kullanabiliriz.

YUVARLAMA YÖNTEMİ

Yuvarlama metodunda, çarpacağımız sayılar arasında iki basamaklı sayı varsa en yakın onluğa, üç basamaklı sayı varsa en yakın yüzlüğe yuvarlarız. Şimdi yuvarlama nasıl yapılır görelim:

*Yuvarlama yapmak istediğimiz basamaktan bir küçük basamağa bakarız.

* Eğer buradaki rakam 5 veya 5’ten büyükse yuvarlama yapacağımız basamağı bir arttırırız, daha küçük basamakları sıfırlarız.

* Eğer buradaki rakam 5’ten küçükse yuvarlama yapacağımız basamakta değişiklik yapmadan daha küçük olan basamakları sıfırlarız.

ÖRNEK: 392 sayısını en yakın yüzlüğe yuvarlayalım.

Sayının yüzler basamağını işaretleyelim ve bir küçük basamağa bakalım. Altı çizili basamak 5’ten büyük olduğu için yüzler basamağını bir arttırırız ve sağındaki basamakları sıfırlarız.

392 → 400

ÖRNEK: 82 sayısını en yakın onluğa yuvarlayalım.

Sayının onlar basamağını işaretleyelim ve bir küçük basamağa bakalım. Altı çizili basamak 5’ten küçük olduğu için onlar basamağını değiştirmeden sağındaki basamağı sıfırlarız.

83 → 80

Şimdi yuvarlama yöntemini kullanarak bir çarpma işleminin cevabını tahmin edelim.

ÖRNEK: 483 x 91 işleminin sonucunu tahmin edelim.

İlk sayıyı en yakın yüzlüğe, ikinci sayıyı en yakın onluğa yuvarlayalım:

483 → 500

91 → 90

500.90 =45000 şeklinde tahmin edilir. Gerçek sonuç 43953 tür.

* Çarptığımız iki sayıdan sadece birini yuvarlayarak da tahmin yapabiliriz. [SPOT 23 ]

12.523 = işleminde 12’ yi 10’ a yuvarlarsak

10.523 = 5230 olarak sonucu tahmin edebiliriz.

 

BÖLME İŞLEMİNİN SONUCUNU TAHMİN ETME

 

 Doğal sayılarla bölme işleminin sonucunu tahmin etmek için yuvarlama yöntemini kullanabiliriz.

YUVARLAMA YÖNTEMİ

Yuvarlama metodunda,eğer üç basamaklı bir sayıyı iki basamaklı bir sayıya bölüyorsak, böleceğimiz sayıyının ilk iki basamağını bölen sayının yakın bir katına yuvarlarız. Bölünen sayının birler basamağını ise sıfır kabul ederiz. Şimdi yukarıdaki resimdeki işlemin sonucunu nasıl tahmin ederiz görelim:

ÖRNEK: 655 : 8 işleminin sonucunu tahmin edelim.

655 sayısının ilk iki basamağı olan 65’e en yakın 8’in katı olan sayı 64’tür.

640 (Birler basamağını sıfır kabul ederiz.)

# 640 : 8 = 80 olarak tahmin ederiz.

ÖRNEK: 492 : 12 işleminin sonucunu tahmin edelim.

492 sayısının ilk iki basamağı olan 49’a en yakın 12’nin katı olan sayı 48’tür.

 480 (Birler basamağını sıfır kabul ederiz.)

480 : 12 = 40 olarak tahmin ederiz.

NOT: Yuvarlama işlemini yukarı doğru yaparsak bulduğumuz sonuç gerçek sonuçtan çok çıkar. Yuvarlama işlemini aşağı doğru yaparsak bulunan sonuç gerçek değerden az çıkar.  [SPOT 24 ]

 

ÇARPMA VE BÖLME İŞLEMLERİ ZİHİNDEN NASIL YAPILIR?

10 ile çarparken bir 0 (sıfır) konur. 453 x 10 = 4530

 

100 ile çarparken iki 0 (sıfır) konur. 612 x 100 = 61200

 

1000 ile çarparken üç 0 (sıfır) konur. 659 x 1000 = 659000

 

10’a bölerken bir 0 (sıfır) silinir. 4530 : 10 = 453

 100’e bölerken iki 0 (sıfır) silinir. 61200 : 100 = 612

 1000’e bölerken üç 0 (sıfır) silinir. 659000 : 1000 = 659

Şimdi zihinden işlem yapmanın pratik yöntemlerine geçebiliriz.

ÇARPMA İŞLEMİNİ ZİHİNDEN YAPMA

10, 100, 1000 VE KATLARIYLA ZİHİNDEN ÇARPMA

Bir çarpma işleminde, çarpanlardan biri 10 veya katı olan bir sayı ise sıfırlar göz ardı edilerek işlem yapılır ve sıfırlar daha sonra eklenir. [SPOT 25 ]

ÖRNEK: 12 x 300 işlemini yapalım.

12 ile 3’ü çarparız, daha sonra sıfırları ekleriz.

12 x 3 = 36

Cevap: 3600

ÖRNEK: 2000 x 40 işlemini yapalım

2 ile 4’ü çarparız, daha sonra sıfırları ekleriz.

2 x 4 = 8

Cevap: 80000

4 VE 8 İLE ZİHİNDEN ÇARPMA

Bir sayı 4 ile çarpılırken 2 defa 2 ile çarpma işlemi yapılabilir. 8 ile çarpılırken 3 defa 2 ile çarpma işlemi yapılabilir. [SPOT 26 ]

ÖRNEK: 18 x 4 işlemini yapalım.

18 ile 2’yi çarparız, daha sonra tekrar 2 ile çarparız.

18 x 2 = 36

36 x 2 = 72

Cevap: 72

ÖRNEK: 12 x 8 işlemini yapalım

12 ile 2’yi 3 defa çarparız.

12 x 2 = 24

24 x 2 = 48

48 x 2 = 96

Cevap: 96

9 VE 11 İLE ZİHİNDEN ÇARPMA

Bir sayı 9 ile çarpılırken sayının 10 katı alınır ve sonuçtan sayı çıkartılır. 11 ile çarpılırken sayının 10 katı alınır ve sonuca sayı eklenir. [SPOT 27 ]

ÖRNEK: 15 x 9 işlemini yapalım.

15 ile 10 ile çarparız. Cevaptan 15 çıkartırız.

15 x 10 = 150

150 − 15 = 135

Cevap: 135

ÖRNEK: 15 x 11 işlemini yapalım.

15 ile 10 ile çarparız. Cevaba 11 ekleriz.

15 x 10 = 150

150 + 15 = 165

Cevap: 165

BÖLME İŞLEMİNİ ZİHİNDEN YAPMA

10, 100, 1000 VE KATLARINA ZİHİNDEN BÖLME

Bir bölme işleminde bölünen ve bölen sayıların sonlarında sıfır varsa her iki sayıdan da aynı sayıda sıfır silinerek işlem yapılabilir. [SPOT 28 ]

ÖRNEK: 4800 : 400 işlemini yapalım.

İki sayıdan da ikişer tane sıfır sileriz ve işlemi yaparız.

Cevap: 48 : 4 = 12

ÖRNEK: 20000 : 5000 işlemini yapalım.

İki sayıdan da üçer tane sıfır sileriz ve işlemi yaparız.

Cevap: 20 : 5 = 4

4 VE 8’E ZİHİNDEN BÖLME

Bir sayı 4’e bölünürken 2 defa 2’ye bölme işlemi yapılabilir. 8’e bölünürken 3 defa 2’ye bölme işlemi yapılabilir. [SPOT 29 ]

ÖRNEK: 48 : 4 işlemini yapalım.

48’i 2’ye böleriz, daha sonra cevabı tekrar 2’ye böleriz.

48 : 2 = 24

24 : 2 = 12

Cevap: 12

5’E ZİHİNDEN BÖLME

Bir sayı 5’e bölünürken 2 ile çarpıp 10’a bölme işlemi yapılabilir. [SPOT 30 ]

ÖRNEK: 135 : 5 işlemini yapalım.

135’i 2 ile çarparız, daha sonra cevabı 10’a böleriz.

135 x 2 = 270

270 : 10 = 27

Cevap: 27

 

PARANTEZLİ İŞLEMLER VE İŞLEM ÖNCELİĞİ

Parantez, birden fazla işlemin olduğu durumlarda işlemlerden hangisini daha önce yapmamız gerektiğini bildirmek için kullanılır.

  • Bir işlemde öncelik şu sıraya göre takip edilir:
  • → Parantez içindeki işlemler
  • →  Çarpma veya Bölme İşlemi
  • → Toplama veya Çıkarma İşlemi
  • Eğer aynı önceliğe sahip işlemler varsa (Örneğin bir işlemde hem çarpma hem de bölme varsa) işlemler soldan sağa doğru yapılır. [SPOT 31 ]

ÖRNEK: 3 + ( 2 x 3 ) işleminin sonucunu bulalım.

Önce parantez içerisindeki işlem yapılır.

3 + 6 = 9 cevabı bulunur.

ÖRNEK: 3 + ( 2 x 3 + 2 ) işleminin sonucunu bulalım.

Önce parantez içerisindeki işlem yapılır.

Ancak parantez içinde hem toplama hem çarpma işlemi var.

Bu yüzden önce çarpmayı yaparız.

3 + ( 2 x 3 + 2 )

3 + ( 6 + 2 )

3 + 8 = 11 cevabı bulunur.

ÖRNEK: 3 + ( 2 x 3 : 2 ) işleminin sonucunu bulalım.

Önce parantez içerisindeki işlem yapılır.

Ancak parantez içinde hem çarpma hem bölme işlemi var.

Bu yüzden önce soldakini yani çarpmayı yaparız.

3 + ( 2 x 3 : 2 )

3 + ( 6 : 2 )

3 + 3 = 6 cevabı bulunur.

ÖRNEK: Bir değirmende 30 kg’lık 8 çuval un bulunmaktadır. Değirmen, un miktarını her bir çuval için 10 kg azaltmıştır. Son durumda, 8 çuvaldaki toplam un miktarını bulmak için gerekli olan matematiksel ifadeyi yazalım.

Önce bir çuvaldaki un miktarını bulmak için çıkarma işlemi yapılır.

Burada çıkarma işleminin önce yapılması gerektiği için parantez içine alalım.

Bir çuvaldaki un miktarı:

( 30 – 10 )

8 çuval olduğu için 8 ile çarparız.

8 x ( 30 – 10 )

 

 

5. Sınıf Matematik Dersi

Doğal Sayılarla İşlemler alt başlıkları

Konunun Spot Bilgisi

[SPOT-1] Eğer toplama işleminde toplanan sayılardan herhangi biri verilmezse toplamdan verilen toplanan çıkartılarak bulunur.

[SPOT-2] Eğer toplama işleminde bazı basamaklardaki rakamlar verilmemişse bu rakamları tek tek bulabiliriz veya pratik olarak bu verilmeyen rakamlar yerine sıfır yazarak toplama işlemini yaparız. Bulduğumuz cevapla verilen cevap arasındaki farka bakarak verilmeyen rakamları buluruz.

[SPOT-3] Eğer çıkarma işleminde eksilen sayı verilmezse çıkan sayıyla fark toplanarak bulunur. EKSİLEN = ÇIKAN + FARK

[SPOT-4] Eğer çıkarma işleminde çıkan sayı verilmezse eksilen sayıdan fark çıkartılarak bulunur. ÇIKAN = EKSİLEN − FARK

[SPOT-5] → Yuvarlama yapmak istediğimiz basamaktan bir küçük basamağa bakarız. → Eğer buradaki rakam 5 veya 5’ten büyükse yuvarlama yapacağımız basamağı bir arttırırız, daha küçük basamakları sıfırlarız. → Eğer buradaki rakam 5’ten küçükse yuvarlama yapacağımız basamakta değişiklik yapmadan daha küçük olan basamakları sıfırlarız.

[SPOT-6] Eğer iki sayı topluyorsak bu sayılardan sadece birini de yuvarlayarak tahmin yapabiliriz.

[SPOT-7] Yuvarlama metodunda, istersek eksilen ve çıkanın ikisi birden yuvarlayabiliriz veya sadece çıkan sayıyı yuvarlayabiliriz. Yuvarlama işlemini en yakın yüzlüğe veya en yakın binliğe yapabiliriz.

[SPOT-8] Çıkarma işleminde sadece çıkan sayıyı yuvarlayarak tahmin yapabiliriz.

[SPOT-9] Doğal sayıları 10, 100, 1000 ile çarpmak için sayının sonuna, çarptığımız sayının sonundaki sıfır sayısı kadar sıfır konur.

[SPOT-10] Doğal sayıları 5 ile kısa yoldan çarpmak için sayının yarısı 10 ile çarpılır veya tam tersi önce 10 ile çarpar sonra ikiye böleriz.

[SPOT-11] Doğal sayıları 9 ile kısa yoldan çarpmak için sayı 10 ile çarpılır ve sonuçtan sayıyı çıkartırız.

[SPOT-12] Doğal sayıları 11 ile kısa yoldan çarpmak için sayı 10 ile çarpılır ve sonuca sayının kendisi eklenir.

[SPOT-13] Doğal sayıları 99 ile kısa yoldan çarpmak için sayı 100 ile çarpılır ve sonuçtan sayı bir kez çıkartılır.

[SPOT-14] Doğal sayıları 101 ile kısa yoldan çarpmak için sayı 100 ile çarpılır ve sonuca sayı bir kez eklenir.

[SPOT-15] Bölme işleminde Bölünen sayı Bölen sayıya bölünerek Bölüm ve Kalan bulunur. Bölme işleminin sağlamasında ise Bölünen sayıyı bulmak için Bölen ile Bölüm çarpılır ve Kalan eklenir. Bölünen = Bölen x Bölüm + Kalan

[SPOT-16] Bir bölme işleminde bölen sayı her zaman kalandan büyüktür.

[SPOT-17] Sıfır hariç her doğal sayının kendisine bölümü 1’dir.

[SPOT-18] Bir doğal sayının 1’e bölümü kendisine eşittir.

[SPOT-19] Bir doğal sayının sıfıra bölümü tanımsızdır.

[SPOT-20] Sıfır’ın bir sayma sayısına bölümü sıfırdır.

[SPOT-21] Doğal sayıları 10, 100, 1000 ile pratik bölmek için sayının sonundan, böldüğümüz sayının sonundaki sıfır sayısı kadar sıfır silinir.

[SPOT-22] Doğal sayıları 5 ile kısa yoldan bölmek için sayıyı iki ile çarpar sonra 10’a böleriz.

[SPOT-23] Çarptığımız iki sayıdan sadece birini yuvarlayarak da tahmin yapabiliriz.

[SPOT-24] Yuvarlama işlemini yukarı doğru yaparsak bulduğumuz sonuç gerçek sonuçtan çok çıkar. Yuvarlama işlemini aşağı doğru yaparsak bulunan sonuç gerçek değerden az çıkar.

[SPOT-25] Bir çarpma işleminde, çarpanlardan biri 10 veya katı olan bir sayı ise sıfırlar göz ardı edilerek işlem yapılır ve sıfırlar daha sonra eklenir.

[SPOT-26] Bir sayı 4 ile çarpılırken 2 defa 2 ile çarpma işlemi yapılabilir. 8 ile çarpılırken 3 defa 2 ile çarpma işlemi yapılabilir.

[SPOT-27] Bir sayı 9 ile çarpılırken sayının 10 katı alınır ve sonuçtan sayı çıkartılır. 11 ile çarpılırken sayının 10 katı alınır ve sonuca sayı eklenir.

[SPOT-28] Bir bölme işleminde bölünen ve bölen sayıların sonlarında sıfır varsa her iki sayıdan da aynı sayıda sıfır silinerek işlem yapılabilir.

[SPOT-29] Bir sayı 4’e bölünürken 2 defa 2’ye bölme işlemi yapılabilir. 8’e bölünürken 3 defa 2’ye bölme işlemi yapılabilir.

[SPOT-30] Bir işlemde öncelik şu sıraya göre takip edilir: → Parantez içindeki işlemler → Çarpma veya Bölme İşlemi → Toplama veya Çıkarma İşlemi Eğer aynı önceliğe sahip işlemler varsa (Örneğin bir işlemde hem çarpma hem de bölme varsa) işlemler soldan sağa doğru yapılır.

Konunun Önemli Terimleri

  • ÇARPAN: Çarpma işleminde çarpılan sayılara çarpan denir.
  • ÇARPIM: Yapılan çarpma işleminin sonucuna çarpım denir. Çarpma işlemi x veya . işaretiyle gösterilir.
  • KALANSIZ BÖLME İŞLEMİ: Kalanı 0 (sıfır) olan bölme işlemine kalansız bölme işlemi denir.
  • KALANLI BÖLME İŞLEMİ: Kalanı 0 (sıfır)’dan farklı olan bölme işlemine kalanlı bölme işlemi denir.